как решать "√" ?

Кратко

\(\sqrt{a}\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). То есть \(\sqrt{a}=b\) означает, что \(b\ge 0\) и \(b^2=a\). Поэтому \(\sqrt{9}=3\) (а не \(-3\)), и корень существует только при \(a\ge 0\).

Дальше почти все задачи решаются одним из четырёх приёмов: упростить (вынести множитель), перемножить/разделить, сложить подобные, избавиться от корня (возведением в квадрат или домножением).

Ключевые шаги

1. Проверь, не табличный ли это квадрат. Держи в голове: \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225\).

2. Вынесение множителя — ищем среди множителей полный квадрат: \[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}. \]

3. Внесение множителя обратно (часто нужно для сравнения): \[ 3\sqrt{2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{18}. \]

4. Умножение и деление — под один корень: \[ \sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6,\qquad \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5. \]

5. Сложение — только подобные слагаемые: \[ 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}, \] а вот \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\), но \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\). Запомни: \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}\).

6. Дробь с корнем в знаменателе — домножаем: \[ \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}. \]

7. Уравнения. Различай два случая: \[ \sqrt{x}=5\ \Rightarrow\ x=25 \quad(\text{проверка: } \sqrt{25}=5), \qquad x^{2}=25\ \Rightarrow\ x=\pm 5. \] В первом случае корень не может быть отрицательным, поэтому ответ один; во втором — два.

Разбор примера

Упростить \(\sqrt{72}+\sqrt{8}\).

1. Раскладываем: \(72=36\cdot 2\), \(8=4\cdot 2\).
2. Выносим: \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
3. Складываем подобные: \(6\sqrt{2}+2\sqrt{2}=8\sqrt{2}\).

Проверка: \((8\sqrt{2})^2=64\cdot 2=128\), и \(\sqrt{72}+\sqrt{8}\approx 8{,}49+2{,}83=11{,}32\), а \(8\sqrt{2}\approx 11{,}31\). Сходится.

Как проверять себя

• Возведи ответ в квадрат — должно получиться подкоренное выражение.
• Следи за ОДЗ: под корнем не может быть отрицательного числа, а сам корень не бывает отрицательным.
• Ответ с корнем всегда доводи до вида \(k\sqrt{m}\), где \(m\) уже не содержит полных квадратов.