как решать факториал?
Краткий ответ
Факториал числа \(n\) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\):
\[ n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n \]
Например, \(5! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5 = 120\). Дополнительно принимают \(0! = 1\). Факториал определён только для целых неотрицательных чисел, поэтому в уравнениях всегда появляется ограничение \(n \ge 0\) (или больше — по смыслу задачи).
Как считать
Просто перемножаем подряд:
\[ 1! = 1,\quad 2! = 2,\quad 3! = 6,\quad 4! = 24,\quad 5! = 120,\quad 6! = 720 \]
Полезное свойство: \(n! = n\cdot(n-1)!\). Оно и есть главный инструмент при упрощении — именно так «сворачивают» длинную цепочку множителей.
Как упрощать выражения с факториалами
Главный приём: расписать больший факториал через меньший и сократить.
\[ \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1)\cdot n!}{n!} = n+1 \]
\[ \frac{n!}{(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} = n(n-1) \]
То есть из числителя выписываем столько множителей, сколько нужно, чтобы «дойти» до факториала из знаменателя, — остальное сокращается.
Как решать уравнения с факториалами
Пример. Решить \(\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} = 30\).
Шаг 1. Ограничение: \(n-1 \ge 0\), то есть \(n \ge 1\), \(n\) — целое.
Шаг 2. Раскладываем числитель до \((n-1)!\):
\[ \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!}{(n-1)!} = n(n+1) \]
Шаг 3. Получаем обычное уравнение:
\[ n(n+1) = 30 \Rightarrow n^2+n-30=0 \Rightarrow n=5 \text{ или } n=-6 \]
Шаг 4. Корень \(-6\) не подходит по ограничению \(n \ge 1\). Ответ: \(n = 5\).
Проверка: \(\dfrac{6!}{4!} = \dfrac{720}{24} = 30\). Верно.
Если уравнение вида \(n! = 720\), его решают перебором по таблице факториалов: \(120 = 5!\), \(720 = 6!\), значит \(n = 6\).
Частые ошибки
- Нельзя «сокращать» факториал как обычный множитель: \(\dfrac{n! + m!}{n!} \ne 1 + m!\) — сначала работаем с целым числителем.
- \((n+m)! \ne n! + m!\) — это разные вещи.
- Забывают про \(0! = 1\) и про ограничение на \(n\).
- Факториал растёт очень быстро, поэтому большие значения ищут не вручную, а через свойство \(n! = n\cdot(n-1)!\).
