4.27 4.28 4.28

Кратко

4.27:
а) \(\frac{y-x}{xy}\); б) \(\frac{m+n}{mn}\); в) \(\frac{3t+p}{pt}\); г) \(\frac{a-b}{ab}\).

4.28:
а) \(\frac{1}{b}\); б) \(\frac{b+c}{bc}\); в) \(-\frac{3}{a}\); г) \(\frac{m+3n}{mn}\).

Как решать

Сначала приводим дроби к общему знаменателю. Если знаменатели отличаются только знаком, выносим минус:

\[ 2b-c=-(c-2b),\quad b-c=-(c-b), \] \[ 2-a=-(a-2),\quad m-3n=-(3n-m). \]

После этого складываем числители, раскладываем их на множители и сокращаем одинаковые множители.

4.27

а) \[ \frac{y}{x(x+y)}-\frac{x}{y(x+y)} =\frac{y^2-x^2}{xy(x+y)} =\frac{(y-x)(y+x)}{xy(x+y)} =\frac{y-x}{xy}. \]

б) \[ \frac{m+2n}{n(m+n)}+\frac{n}{m(m+n)} =\frac{m(m+2n)+n^2}{mn(m+n)} =\frac{(m+n)^2}{mn(m+n)} =\frac{m+n}{mn}. \]

в) \[ \frac{9t}{p(3t-p)}-\frac{p}{t(3t-p)} =\frac{9t^2-p^2}{pt(3t-p)} =\frac{(3t-p)(3t+p)}{pt(3t-p)} =\frac{3t+p}{pt}. \]

г) \[ \frac{a}{b(a-b)}-\frac{2a-b}{a(a-b)} =\frac{a^2-b(2a-b)}{ab(a-b)} =\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)} =\frac{a-b}{ab}. \]

4.28

а) \[ \frac{c}{b(c-2b)}+\frac{2}{2b-c} =\frac{c}{b(c-2b)}-\frac{2}{c-2b} =\frac{c-2b}{b(c-2b)} =\frac{1}{b}. \]

б) \[ \frac{c}{b(c-b)}+\frac{b}{c(b-c)} =\frac{c}{b(c-b)}-\frac{b}{c(c-b)} =\frac{c^2-b^2}{bc(c-b)} =\frac{(c-b)(c+b)}{bc(c-b)} =\frac{b+c}{bc}. \]

в) \[ \frac{6}{a(a-2)}+\frac{3}{2-a} =\frac{6}{a(a-2)}-\frac{3}{a-2} =\frac{6-3a}{a(a-2)} =\frac{-3(a-2)}{a(a-2)} =-\frac{3}{a}. \]

г) \[ \frac{9n}{m(3n-m)}+\frac{m}{n(m-3n)} =\frac{9n}{m(3n-m)}-\frac{m}{n(3n-m)} =\frac{9n^2-m^2}{mn(3n-m)} =\frac{(3n-m)(3n+m)}{mn(3n-m)} =\frac{3n+m}{mn}. \]

Проверка

Для 4.28 а при \(b=2,\ c=5\):

\[ \frac{5}{2(5-4)}+\frac{2}{4-5}=\frac52-2=\frac12, \]

а \(\frac{1}{b}=\frac12\). Совпадает.

Все преобразования выполняются при допустимых значениях переменных — знаменатели не равны нулю.