4.29 в'г

Краткий ответ

\[ \text{в) }\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2};\qquad \text{г) }-\frac{2p}{(p+1)(p+3)}. \]

Как рассуждать

Чтобы вычесть дроби, приводим их к общему знаменателю. Затем умножаем числитель каждой дроби на недостающий множитель, раскрываем скобки и приводим подобные. Важно: минус перед дробью относится ко всему её числителю. Также знаменатели не должны обращаться в нуль.

в)

\[ \frac{m}{m-n}-\frac{n}{m+n} = \frac{m(m+n)-n(m-n)}{(m-n)(m+n)} \]

\[ = \frac{m^2+mn-mn+n^2}{m^2-n^2} = \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}. \]

Здесь \(m\ne n\) и \(m\ne -n\).

г)

\[ \frac{p+2}{p+1}-\frac{p+6}{p+3} = \frac{(p+2)(p+3)-(p+6)(p+1)}{(p+1)(p+3)} \]

\[ = \frac{(p^2+5p+6)-(p^2+7p+6)}{(p+1)(p+3)} = -\frac{2p}{(p+1)(p+3)}. \]

Здесь \(p\ne -1\) и \(p\ne -3\).

Проверка

Для в) при \(m=1,\ n=2\): \[ \frac{1}{-1}-\frac{2}{3}=-\frac53, \] и по формуле \(\frac{1+4}{1-4}=-\frac53\). Совпало.

Для г) при \(p=1\): \[ \frac32-\frac74=-\frac14, \] и по формуле \(-\frac{2}{2\cdot4}=-\frac14\). Тоже совпало.