Письменно: В 1 л воды при температуре 18 градусов вылили 300 г расплавленного олова, имеющего температуру 232 градуса. На сколько градусов при этом нагрелась вода?

Краткий ответ

Вода нагрелась примерно на 7,6 °C (примерно на 8 °C), то есть её конечная температура около 25,6 °C.

Как рассуждать

1. Что происходит. Расплавленное олово при 232 °C — это как раз его температура плавления. Попав в воду, оно сначала кристаллизуется (затвердевает), отдавая теплоту плавления, а потом уже затвердевшее олово остывает от 232 °C до общей конечной температуры \(t\). Вода при этом нагревается от 18 °C до той же \(t\).

2. Данные.

\[ m_{\text{в}}=\rho V=1000\cdot 0{,}001=1\ \text{кг},\quad m_{\text{о}}=0{,}3\ \text{кг} \]

\[ c_{\text{в}}=4200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}},\quad c_{\text{о}}=230\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}},\quad \lambda=5{,}9\cdot10^{4}\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \]

3. Тепловой баланс: сколько тепла отдало олово, столько получила вода.

\[ Q_{\text{о}}=\lambda m_{\text{о}}+c_{\text{о}}m_{\text{о}}(232^\circ-t) \]

\[ Q_{\text{в}}=c_{\text{в}}m_{\text{в}}(t-18^\circ) \]

\[ c_{\text{в}}m_{\text{в}}(t-18^\circ)=\lambda m_{\text{о}}+c_{\text{о}}m_{\text{о}}(232^\circ-t) \]

4. Подставляем числа.

\[ 4200(t-18)=0{,}3\cdot 59000+230\cdot0{,}3\,(232-t) \]

\[ 4200t-75600=17700+69\cdot232-69t \]

\[ 4200t-75600=17700+16008-69t \]

\[ 4200t+69t=33708+75600 \]

\[ 4269t=109308 \quad\Rightarrow\quad t\approx 25{,}6\ ^\circ\text{C} \]

5. Ответ на вопрос «на сколько нагрелась».

\[ \Delta t=25{,}6-18\approx 7{,}6\ ^\circ\text{C} \]

6. Проверка. Вода получила \(4200\cdot7{,}6\approx 32\,000\) Дж. Олово отдало: на кристаллизацию \(0{,}3\cdot59000=17\,700\) Дж, на остывание \(69\cdot(232-25{,}6)\approx14\,200\) Дж, всего около \(31\,900\) Дж. Совпадает — баланс сходится.

Важно для похожих задач: обязательно проверяйте, что найденная \(t\) ниже температуры плавления металла (25,6 °C < 232 °C — значит, олово действительно затвердело полностью). Если бы \(t\) получилась выше, олово застыло бы не всё, и уравнение пришлось бы составлять иначе.