реши №16.5 (1,4)

Краткий ответ

16.5(1): \(x\in[-7;\,2]\).

16.5(4): решений нет, \(x\in\varnothing\).

Как рассуждать

Для неравенств с корнем нельзя сразу возводить в квадрат: сначала важен знак правой части.

Для \(\sqrt{f}\ge g\): \[ \sqrt{f}\ge g \iff \begin{cases} f\ge0,\\ g<0 \end{cases} \quad\text{или}\quad \begin{cases} f\ge0,\\ g\ge0,\\ f\ge g^2. \end{cases} \] Если \(g<0\), корень неотрицателен и автоматически больше \(g\). Если \(g\ge0\), обе части неотрицательны, можно возводить в квадрат.

Для \(\sqrt{f}<g\): \[ \sqrt{f}<g \iff \begin{cases} f\ge0,\\ g>0,\\ f<g^2. \end{cases} \] Если \(g\le0\), решений нет: неотрицательный корень не может быть меньше неположительного числа.

16.5(1). \(\sqrt{x+7}\ge x+1\)

ОДЗ: \(x+7\ge0\), то есть \(x\ge-7\).

1. Если \(x+1<0\), то есть \(x<-1\), то корень больше отрицательного числа всегда. С учётом ОДЗ: \(x\in[-7;-1)\).

2. Если \(x+1\ge0\), то есть \(x\ge-1\), возводим в квадрат: \[ x+7\ge (x+1)^2 \] \[ x+7\ge x^2+2x+1 \] \[ x^2+x-6\le0 \] \[ (x-2)(x+3)\le0. \] Значит \(-3\le x\le2\). С учётом \(x\ge-1\) получаем \([-1;2]\).

Объединяем: \[ [-7;-1)\cup[-1;2]=[-7;2]. \]

Проверка: при \(x=2\) получаем \(3\ge3\) — верно; при \(x=3\) уже \(\sqrt{10}<4\) — неверно.

16.5(4). \(\sqrt{x^2+4x-5}<x-3\)

Для строгого неравенства нужно \(x-3>0\), то есть \(x>3\). Иначе правая часть не больше нуля, а корень неотрицателен — неравенство невозможно.

При \(x>3\) обе части неотрицательны, возводим в квадрат: \[ x^2+4x-5<(x-3)^2 \] \[ x^2+4x-5<x^2-6x+9 \] \[ 10x<14 \] \[ x<1{,}4. \] Но одновременно требуется \(x>3\). Это противоречие.

Значит, решений нет: \(x\in\varnothing\).

Проверка: при \(x=4\) получаем \(\sqrt{27}<1\) — неверно; при \(x=1\) получаем \(0<-2\) — тоже неверно.

Вывод: в подобных заданиях сначала проверяйте знак правой части, и только потом возводите в квадрат.