реши задачу только под номером 474 с "дано:"

Краткий ответ

\[ n \approx 2{,}3\cdot 10^{25}\ \text{м}^{-3} \]

Дано

\[ p=0{,}2\ \text{МПа}=2\cdot 10^{5}\ \text{Па},\qquad v_{\text{кв}}=700\ \text{м/с} \] Кислород — \(O_2\), значит \(M=32\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}\). Найти: \(n\) — концентрацию молекул.

Решение

1. Связь давления со скоростью молекул. Основное уравнение МКТ: \[ p=\frac{1}{3}nm_0v_{\text{кв}}^2 \] где \(m_0=\frac{M}{N_A}\) — масса одной молекулы. Отсюда сразу: \[ n=\frac{3p}{m_0v_{\text{кв}}^2}=\frac{3pN_A}{Mv_{\text{кв}}^2} \]

Идея: давление создаётся ударами молекул; чем больше молекул в единице объёма и чем быстрее они летят, тем больше давление. Скорость задана, поэтому концентрация находится однозначно — температуру отдельно искать не нужно.

2. Подстановка чисел: \[ n=\frac{3\cdot 2\cdot 10^{5}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23}}{32\cdot 10^{-3}\cdot 700^{2}} =\frac{3{,}612\cdot 10^{29}}{1{,}568\cdot 10^{4}}\approx 2{,}3\cdot 10^{25}\ \text{м}^{-3} \]

Проверка

Найдём температуру газа: \(v_{\text{кв}}^2=\frac{3RT}{M}\), откуда \[ T=\frac{Mv_{\text{кв}}^2}{3R}=\frac{0{,}032\cdot 4{,}9\cdot 10^{5}}{3\cdot 8{,}31}\approx 629\ \text{К} \] Тогда по \(p=nkT\): \[ n=\frac{2\cdot 10^{5}}{1{,}38\cdot 10^{-23}\cdot 629}\approx 2{,}3\cdot 10^{25}\ \text{м}^{-3} \] Оба пути дают одно и то же — ответ верен.

Ответ: \(n\approx 2{,}3\cdot 10^{25}\ \text{м}^{-3}\) (порядка \(10^{25}\) молекул в кубометре).