617. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) 3x² − 24x + 21; б) 5z² + 10z − 15; в) 1/6x² + 1/2x + 1/3;

Разбираю упражнение 617.

Краткий ответ

• а) \(3(x-1)(x-7)\);
• б) \(5(z-1)(z+3)\);
• в) \(\frac{1}{6}(x+1)(x+2)\);
• г) \((x-2)(x-10)\);
• д) \(-(y-1)(y-15)\);
• е) \(-(t-1)(t+9)\);
• ж) \((x-1)(2x-3)\);
• з) \((y+1)(5y-3)\);
• и) \(-(n+1)(2n-7)\).

Как действовать

Для квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\) находят его корни \(x_1\) и \(x_2\), а затем применяют формулу \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \] Корни можно найти через дискриминант: \[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \] Если все коэффициенты имеют общий множитель, его удобно вынести сразу.

Пример а) \[ D=(-24)^2-4\cdot3\cdot21=576-252=324=18^2, \] \[ x_{1,2}=\frac{24\pm18}{6}. \] Значит, \(x_1=1\), \(x_2=7\), поэтому \[ 3x^2-24x+21=3(x-1)(x-7). \]

Пример в) \[ \frac{1}{6}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3} =\frac{1}{6}(x^2+3x+2) =\frac{1}{6}(x+1)(x+2). \]

Проверка

Раскрытие скобок даёт исходный трёхчлен, например: \[ (x-1)(2x-3)=2x^2-5x+3, \] \[ -(n+1)(2n-7)=-2n^2+5n+7. \]