Дан прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в основании (основание ABCD) которого лежит квадрат. AB=3√2, AD1=12. Найдите периметр сечения плоскостью, проходящей через точку K
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите задачу: Дан прямой параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), в основании (основание \(ABCD\)) которого лежит квадрат. \(AB=3\sqrt{2}\), \(AD_1=12\). Найдите периметр сечения плоскостью, проходящей через точку \(K\) (\(K\) середина \(A_1B_1\)) и параллельно плоскости \(AB_1D_1\).
- Постройте сечения.
Краткий ответ: \(P=15\). Сечение — треугольник \(EKL\), где
\(E\) — середина \(AA_1\), \(K\) — середина \(A_1B_1\), \(L\) — середина \(A_1D_1\).
Построение
- В верхней грани через \(K\) проведи \(KL \parallel B_1D_1\); точка \(L\) попадёт в середину \(A_1D_1\).
- В боковой грани \(AA_1B_1B\) через \(K\) проведи \(KE \parallel AB_1\); точка \(E\) попадёт в середину \(AA_1\).
- Соедини \(E\) и \(L\). Искомое сечение — треугольник \(EKL\).
Почему это верно: плоскость \(AB_1D_1\) пересекает грани по прямым \(AB_1\), \(B_1D_1\), \(AD_1\). У параллельной плоскости линии пересечения с теми же гранями параллельны им. Поэтому \(EK \parallel AB_1\), \(KL \parallel B_1D_1\), \(EL \parallel AD_1\).
Периметр
Стороны \(EKL\) — средние линии соответствующих треугольников, поэтому:
\[ EK=\frac{AB_1}{2},\qquad KL=\frac{B_1D_1}{2},\qquad EL=\frac{AD_1}{2}. \]
По условию \(AD_1=12\). Боковые грани — равные прямоугольники, значит,
\[ AB_1=AD_1=12. \]
Диагональ верхнего квадрата:
\[ B_1D_1=3\sqrt2\cdot\sqrt2=6. \]
Тогда
\[ P_{EKL} =\frac12(AB_1+B_1D_1+AD_1) =\frac12(12+6+12)=15. \]
Проверка: \(EK=6\), \(KL=3\), \(EL=6\), значит \(P=6+3+6=15\).
Ответ: \(15\).
Обсуждение
2 сообщениясделай рисунок
Рисунок я сделал схемой — по ней легко перечертить от руки (масштаб условный, важны только расположение точек и связи):
D1------------C1
/ : / |
L : / |
/. \ : / |
A1-.-.-K------B1 |
| . / : | |
| . / : | |
|. / : | |
|./ : | |
E : | |
| D............C
| . | /
| . | /
| . | /
A-------------B
Обозначения на чертеже:
- \(E\) — середина \(AA_1\);
- \(K\) — середина \(A_1B_1\);
- \(L\) — середина \(A_1D_1\);
- сечение — треугольник \(EKL\).
Как построить рисунок
- Нарисуй прямой параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\): основание \(ABCD\) — квадрат (на чертеже в перспективе параллелограмм), боковые рёбра вертикальны.
- Отметь три середины: \(E\) на ребре \(AA_1\), \(K\) на ребре \(A_1B_1\), \(L\) на ребре \(A_1D_1\).
- Соедини последовательно \(E \to K \to L \to E\). Получился треугольник — это и есть сечение.
Что проверить по рисунку
- \(EK\) лежит в грани \(AA_1B_1B\) и параллельна \(AB_1\);
- \(KL\) лежит в верхней грани и параллельна \(B_1D_1\);
- \(EL\) лежит в грани \(AA_1D_1D\) и параллельна \(AD_1\) (это ребро проходит внутри фигуры, поэтому на чертеже его удобно показать штриховой линией).
Значит, плоскость \(EKL\) действительно параллельна плоскости \(AB_1D_1\) — сечение построено верно.
Контроль чисел по чертежу
\[ EK=\frac{AB_1}{2}=6,\qquad KL=\frac{B_1D_1}{2}=3,\qquad EL=\frac{AD_1}{2}=6, \] \[ P=6+3+6=15. \]
Ответ: \(15\).
