реши 1 задание
Сверь числа и знаки с фото.
- Двадцать учеников 5го класса (среди которых есть Оля и Соня) выстроились в очередь за булочками в столовой. Каких очередей существует больше: тех, в которых Оля стоит раньше Сони или тех, в которых Соня стоит раньше Оли?
Краткий ответ: число очередей одинаковое.
Рассмотрим любую очередь, в которой Оля стоит раньше Сони. Поменяем Олю и Соню местами, а остальных 18 учеников оставим на своих местах. Получится очередь, в которой Соня стоит раньше Оли.
Это соответствие обратимое: если поменять Олю и Соню ещё раз, вернёмся к исходной очереди. Значит, каждому варианту первого типа соответствует ровно один вариант второго типа.
Всего существует \(20!\) различных очередей. Поэтому очередей каждого типа по
\[ \frac{20!}{2}. \]
Проверка:
\[ \frac{20!}{2}+\frac{20!}{2}=20!, \]
то есть учтены все возможные очереди, и ни одна не посчитана дважды.
Обсуждение
2 сообщенияА что значит 20!
Запись \(20!\) читается «двадцать факториал». Это не восклицание, а произведение всех чисел от \(1\) до \(20\):
\[ 20! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 19\cdot 20. \]
Например:
\[ 3! = 1\cdot2\cdot3=6,\qquad 5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120. \]
Точное значение:
\[ 20! = 2\,432\,902\,008\,176\,640\,000. \]
В этой задаче вычислять его не нужно. \(20!\) — это просто число всех возможных очередей. Мы доказали, что очереди делятся на пары: в одной Оля раньше Сони, в другой — наоборот. Поэтому число очередей каждого вида одинаково и равно половине всех очередей.
Если факториалы ещё не проходили, можно вместо \(20!\) писать «число всех очередей».
