реши 1 задание

Ответ: поровну.

Представь, что все остальные 18 учеников уже стоят в очереди, а для Оли и Сони остались два места. Эти два места они могут занять только двумя способами:

• Оля — на первое место, Соня — на второе (Оля раньше);
• Соня — на первое, Оля — на второе (Соня раньше).

Значит, каждая очередь, где Оля раньше Сони, превращается в очередь, где Соня раньше Оли, если просто поменять их местами. И наоборот. Поэтому все очереди разбиваются на пары, и в каждой паре один вариант «за Олю», другой — «за Соню».

Проверим на трёх учениках — Оле, Соне и Пете. Все очереди:

1. ОСП — Оля раньше
2. ОПС — Оля раньше
3. СОП — Соня раньше
4. СПО — Соня раньше
5. ПОС — Оля раньше
6. ПСО — Соня раньше

Их по 3, то есть поровну. Для 20 учеников рассуждение точно такое же.

Вывод: очередей с Олей раньше Сони и с Соней раньше Оли одинаковое количество — по половине всех очередей.

Ответ: очередей одинаковое количество — ни тех, ни других не больше.

Каждой очереди, где Оля раньше Сони, соответствует ровно одна очередь, где Соня раньше Оли (если поменять их местами). Поэтому: \[ \frac{20!}{2}=1\,216\,451\,004\,088\,320\,000. \]

То есть по \(1\,216\,451\,004\,088\,320\,000\) очередей.

Потому что все очереди делятся ровно на две равные группы:

1. Оля стоит раньше Сони;
2. Соня стоит раньше Оли.

Других вариантов нет: они не могут стоять на одном месте.

При этом каждой очереди первой группы соответствует ровно одна очередь второй группы — достаточно поменять Олю и Соню местами. Значит, группы одинаковые по количеству.

Всего очередей: \[ 20! \] А так как две группы равны, в каждой: \[ \frac{20!}{2}=1\,216\,451\,004\,088\,320\,000. \]

То есть делим на 2, потому что \(20!\) — это все очереди, а нам нужна только половина из них.

Ответ: количество очередей одинаковое; в каждом случае по \(1\,216\,451\,004\,088\,320\,000\).

Поменяв Олю и Соню местами, каждой очереди с Олей раньше Сони можно взаимно однозначно сопоставить очередь с Соней раньше Оли, поэтому их поровну.