решение с объяснением

Кратко

1. а) \(\dfrac{\sqrt3}{2}\); б) \(\dfrac{\sqrt3}{3}\).
2. \(\dfrac{\sqrt3}{3}\).
3. \(-\dfrac52\).
4. Тождество верно.
5. \(\cos\alpha\).

Нижний блок: А) \(6\); Б) \(51\); В) \(10\).

Как рассуждать

Сначала убираем полные обороты \(2\pi\) или \(360^\circ\), затем применяем формулы приведения. Знак определяем по четверти, в которой находится угол. В п. 2 на фото стоит \(\tg210^\circ\), поэтому ответ совпадает с 1б; ниже показан именно вывод по формуле сложения.

1. Формулы приведения

а) \[ \sin\frac{8\pi}{3}=\sin\left(2\pi+\frac{2\pi}{3}\right) =\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}. \] Угол \(\frac{2\pi}{3}\) находится во II четверти, синус там положительный.

б) \[ \tg210^\circ=\tg(180^\circ+30^\circ)=\tg30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}. \]

2. Формула сложения для тангенса

\[ \tg210^\circ=\tg(180^\circ+30^\circ) =\frac{\tg180^\circ+\tg30^\circ}{1-\tg180^\circ\tg30^\circ} =\frac{0+\frac1{\sqrt3}}{1-0} =\frac{\sqrt3}{3}. \]

3. Значение выражения

Используем: \[ \sin(\alpha-2\pi)=\sin\alpha, \] \[ \cos\left(-\frac{\pi}{2}+\alpha\right) =\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\alpha, \] \[ \sin(\alpha-\pi)=-\sin\alpha. \]

Тогда \[ \frac{2\sin(\alpha-2\pi)+3\cos\left(-\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{2\sin(\alpha-\pi)} = \frac{2\sin\alpha+3\sin\alpha}{-2\sin\alpha} = -\frac52. \] При \(\sin\alpha=0\) исходное выражение не определено.

4. Доказательство тождества

\[ \tg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\ctg\alpha, \qquad \ctg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tg\alpha. \] Поэтому первое произведение равно \[ \ctg\alpha\cdot\tg\alpha=1. \]

Далее: \[ \sin(\pi-\alpha)\sin(2\pi-\alpha) =\sin\alpha\cdot(-\sin\alpha) =-\sin^2\alpha, \] \[ \cos(2\pi+\alpha)\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) =\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha) =-\cos^2\alpha. \]

Складываем: \[ 1-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha =1-(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) =1-1=0. \] Тождество доказано.

5. Упрощение

\[ \frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\alpha)} {\tg(\pi-\alpha)\cos(\pi-\alpha)} = \frac{\sin\alpha\cos\alpha} {(-\tg\alpha)(-\cos\alpha)}. \]

Так как \[ (-\tg\alpha)(-\cos\alpha) =\tg\alpha\cos\alpha =\sin\alpha, \] получаем \[ \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cos\alpha. \] На области определения выражения \(\sin\alpha\neq0\), \(\cos\alpha\neq0\).

Нижний блок «Вычислите»

А) \[ \cos59^\circ=\cos(90^\circ-31^\circ)=\sin31^\circ, \] поэтому \[ \frac{6\cos59^\circ}{\sin31^\circ}=6. \]

Б) \[ \sin281^\circ=\sin(360^\circ-79^\circ)=-\sin79^\circ, \] поэтому \[ \frac{-51\sin79^\circ}{\sin281^\circ} = \frac{-51\sin79^\circ}{-\sin79^\circ} =51. \]

В) \[ \tg170^\circ=\tg(180^\circ-10^\circ)=-\tg10^\circ, \] \[ \tg80^\circ=\tg(90^\circ-10^\circ)=\ctg10^\circ. \] Значит, \[ \tg80^\circ\cdot\tg170^\circ =\ctg10^\circ\cdot(-\tg10^\circ)=-1. \] Тогда \[ -10\tg80^\circ\tg170^\circ =-10\cdot(-1)=10. \]

Проверка п. 3: при \(\alpha=\frac{\pi}{4}\) числитель равен \(5\cdot\frac{\sqrt2}{2}\), знаменатель равен \(-\sqrt2\), результат действительно \(-\frac52\).