52. Найдите значение выражения: 1) 7⁵ · 7⁻⁷; 2) 10⁻¹² · 10¹⁵; 3) 5⁻¹² : 5⁻¹⁶; 4) 3⁻¹⁴ · 3⁻¹⁹ : 3⁻³⁴;
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Найдите значение выражения:
- \(7^5\cdot7^{-7}\);
- \(10^{-12}\cdot10^{15}\);
- \(5^{-12}:5^{-16}\);
- \(3^{-14}\cdot3^{-19}:3^{-34}\);
- \((13^{-9})^4\cdot(13^{-2})^{-18}\);
- \(\frac{2^{-4}\cdot(2^{-3})^5}{(2^{-8})^2\cdot2^{-3}}\).
- Найдите значение выражения:
- \(27^{-3}:81^{-2}\);
- \(\frac{(-36)^{-3}\cdot6^4}{216^{-4}\cdot(-6)^9}\);
- \(\frac{21^5\cdot3^{-7}}{63^{-2}\cdot7^8}\);
- \(\frac{(0,2)^{-6}\cdot25^{-7}}{125^{-3}}\).
- Упростите выражение:
- \(\frac{1}{3}p^{-2}q^{-5}\cdot\frac{9}{5}p^6q^3\);
- \(-0,4b^{-3}c^7\cdot1,5b^2c^{-6}\);
- \(0,45m^{-3}n^2p^{-4}\cdot1\frac{1}{9}n^6\);
- \(5a^{-6}\cdot(-3a^{-2}b^3)^{-2}\).
На фото полные номера 52–54. Кратко:
- 52: \(\frac{1}{49};\ 1000;\ 625;\ 3;\ 1;\ 1\).
- 53: \(\frac{1}{3};\ 6;\ \frac{9}{7};\ 5\).
- 54: \(\frac{3p^4}{5q^2};\ -\frac{3c}{5b};\ \frac{n^8}{2m^3p^4};\ \frac{5}{9a^2b^6}\).
Главное правило: при умножении степеней показатели складываются, при делении — вычитаются, при возведении степени в степень — умножаются: \[ a^m a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \] Отрицательный показатель переносит множитель через черту дроби: \[ a^{-n}=\frac1{a^n}. \]
52. Найдите значение выражения
\(7^5\cdot7^{-7}=7^{5-7}=7^{-2}=\frac{1}{49}\).
\(10^{-12}\cdot10^{15}=10^{-12+15}=10^3=1000\).
\(5^{-12}:5^{-16}=5^{-12-(-16)}=5^4=625\).
\(3^{-14}\cdot3^{-19}:3^{-34}=3^{-14-19+34}=3^1=3\).
\((13^{-9})^4\cdot(13^{-2})^{-18}=13^{-36}\cdot13^{36}=13^0=1\).
В числителе: \[ 2^{-4}\cdot(2^{-3})^5=2^{-4}\cdot2^{-15}=2^{-19}. \] В знаменателе: \[ (2^{-8})^2\cdot2^{-3}=2^{-16}\cdot2^{-3}=2^{-19}. \] Поэтому \[ \frac{2^{-19}}{2^{-19}}=1. \]
53. Найдите значение выражения
\(27=3^3,\ 81=3^4\): \[ 27^{-3}:81^{-2}=3^{-9}:3^{-8}=3^{-1}=\frac13. \]
Раскладываем основания: \[ (-36)^{-3}\cdot6^4=-6^{-6}\cdot6^4=-6^{-2}, \] \[ 216^{-4}\cdot(-6)^9=6^{-12}\cdot(-6^9)=-6^{-3}. \] Тогда \[ \frac{-6^{-2}}{-6^{-3}}=6. \] Знак положительный, потому что минус на минус даёт плюс.
\(21=3\cdot7\), \(63=3^2\cdot7\): \[ \frac{21^5\cdot3^{-7}}{63^{-2}\cdot7^8} = \frac{3^5\cdot7^5\cdot3^{-7}}{3^{-4}\cdot7^{-2}\cdot7^8} = \frac{3^{-2}\cdot7^5}{3^{-4}\cdot7^6} =3^2\cdot7^{-1}=\frac97. \]
\(0{,}2=5^{-1}\), \(25=5^2\), \(125=5^3\): \[ \frac{(5^{-1})^{-6}\cdot(5^2)^{-7}}{(5^3)^{-3}} = \frac{5^6\cdot5^{-14}}{5^{-9}} = \frac{5^{-8}}{5^{-9}} =5. \]
54. Упростите выражение
\[ \frac13p^{-2}q^{-5}\cdot\frac95p^6q^3 = \frac{1\cdot9}{3\cdot5}\,p^{-2+6}q^{-5+3} = \frac35p^4q^{-2} = \frac{3p^4}{5q^2}. \]
\[ -0{,}4b^{-3}c^7\cdot1{,}5b^2c^{-6} = -0{,}6\,b^{-3+2}c^{7-6} = -0{,}6\,b^{-1}c = -\frac{3c}{5b}. \]
По видимой записи: \[ 0{,}45m^{-3}n^2p^{-4}\cdot1\frac19n^6. \] Сначала коэффициенты: \[ 0{,}45\cdot1\frac19=\frac{9}{20}\cdot\frac{10}{9}=\frac12. \] Степени: \[ n^2\cdot n^6=n^8. \] Поэтому \[ \frac{n^8}{2m^3p^4}. \]
\[ (-3a^{-2}b^3)^{-2}=(-3)^{-2}(a^{-2})^{-2}(b^3)^{-2} =\frac19a^4b^{-6}. \] Тогда \[ 5a^{-6}\cdot\frac19a^4b^{-6} = \frac59a^{-2}b^{-6} = \frac{5}{9a^2b^6}. \]
Проверка ключевых мест: в №52(6) числитель и знаменатель получились одинаковыми — \(2^{-19}\), поэтому ответ \(1\); в №53(2) два отрицательных множителя дают положительный результат.
Обсуждение
6 сообщенийА самое первое? Там где 5) a^-4: a^-12
Это задание стоит перед №52. На фото видны пункты 5), 6), 11), 12) — решаю их.
Ответы: 5) \(a^8\); 6) \(a^9\); 11) \(\dfrac{b^8c^{10}}{a^{24}d^{26}}\); 12) \(a^8b^{96}\).
Как получилось:
При делении показатели вычитаются: \[ a^{-4}:a^{-12}=a^{-4-(-12)}=a^{-4+12}=a^8. \]
Сначала умножение, затем деление: \[ a^{17}\cdot a^{-23}=a^{17-23}=a^{-6}, \] \[ a^{-6}:a^{-15}=a^{-6-(-15)}=a^{-6+15}=a^9. \]
Возводим в степень \(-2\) числитель и знаменатель: \[ \left(\frac{a^{12}b^{-4}}{c^5d^{-13}}\right)^{-2} = \frac{a^{-24}b^{8}}{c^{-10}d^{26}}. \] Переносим множители с отрицательными показателями: \[ \frac{a^{-24}b^8}{c^{-10}d^{26}} = \frac{b^8c^{10}}{a^{24}d^{26}}. \]
Отдельно каждый множитель: \[ \left(\frac{a^7}{b^{-3}}\right)^{-4} = \frac{a^{-28}}{b^{12}}, \qquad \left(\frac{a^{-3}}{b^9}\right)^{-12} = \frac{a^{36}}{b^{-108}} = a^{36}b^{108}. \] Перемножаем: \[ \frac{a^{-28}}{b^{12}}\cdot a^{36}b^{108} = a^{-28+36}b^{-12+108} = a^8b^{96}. \]
Пункты 1)–4) и 7)–10) на фото обрезаны — если они тоже нужны, пришли их.
Мне кажется в 12) в первой дроби знаменатель -8, а не -3
Да, ты прав: я перепроверил — в первой дроби знаменатель \(b^{-8}\), а не \(b^{-3}\). Тогда ответ в 12) меняется:
\[ \boxed{a^8b^{76}} \]
Вот пересчёт:
\[ \left(\frac{a^7}{b^{-8}}\right)^{-4} = (a^7b^8)^{-4} = a^{-28}b^{-32}. \]
Второй множитель:
\[ \left(\frac{a^{-3}}{b^9}\right)^{-12} = (a^{-3}b^{-9})^{-12} = a^{36}b^{108}. \]
Перемножаем:
\[ a^{-28}b^{-32}\cdot a^{36}b^{108} = a^{-28+36}b^{-32+108} = a^8b^{76}. \]
Так что прежний ответ \(a^8b^{96}\) был из-за того, что я прочитал \(-8\) как \(-3\). Спасибо, что заметил.
Объясни 53 3)
Разберём пример 53(3): \[ \frac{21^5\cdot3^{-7}}{63^{-2}\cdot7^8}. \]
Ответ: \(\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}\).
Как решать
Приведём основания \(21\) и \(63\) к простым числам: \[ 21=3\cdot7,\qquad 63=9\cdot7=3^2\cdot7. \] Тогда: \[ 21^5=(3\cdot7)^5=3^5\cdot7^5, \] \[ 63^{-2}=(3^2\cdot7)^{-2}=3^{2\cdot(-2)}\cdot7^{1\cdot(-2)}=3^{-4}\cdot7^{-2}. \]
Подставим в дробь: \[ \frac{3^5\cdot7^5\cdot3^{-7}}{3^{-4}\cdot7^{-2}\cdot7^8}. \]
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: \[ \frac{3^{5-7}\cdot7^5}{3^{-4}\cdot7^{-2+8}} = \frac{3^{-2}\cdot7^5}{3^{-4}\cdot7^6}. \]
Разделим степени: показатели вычитаются. \[ 3^{-2-(-4)}=3^{2}=9, \] \[ 7^{5-6}=7^{-1}=\frac{1}{7}. \] Значит, \[ 9\cdot\frac{1}{7}=\frac{9}{7}. \]
Главная идея: сначала сделать одинаковые основания, а затем применять правила \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]
Частая ошибка здесь — неправильно раскрыть \(63^{-2}\): показатель \(-2\) умножается на показатели \(2\) и \(1\), поэтому получается \(3^{-4}\cdot7^{-2}\).
