Упражнения 4.1. Равносильны ли уравнения: 1) -2x=-6 и 1/3 x=1
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Упражнения 4.1. Равносильны ли уравнения:
- \(-2x=-6\) и \(\frac{1}{3}x=1\);
- \(x-5=0\) и \(x(x-5)=0\);
- \(\frac{6}{x}=0\) и \(x^2=-4\);
- \(x+1=1+x\) и \(\frac{x^2+1}{x^2+1}=1\);
- \(x^3=1\) и \(|x|=1\);
- \(x^{100}=1\) и \(x^{1000}=1\);
- \(\frac{x}{x}=1\) и \(x=x\);
- \(x^2+2x+1=0\) и \(x+1=0\);
- \(\frac{x^2-1}{x+1}=0\) и \(x-1=0\);
- \(\frac{x^2-9}{x+2}=0\) и \(x^2-9=0\).
4.2. Равносильны ли уравнения:
- \(x+6=10\) и \(2x-1=7\);
- \(x^2=x\) и \(x=1\);
- \(x^2+1=0\) и \(\frac{3}{x-1}=0\);
- \(\frac{x+1}{x+1}=1\) и \(\frac{x^2+1}{x^2+1}=1\);
- \(\frac{x-2}{x-2}=0\) и \(2x^2+3=0\);
- \(x^2+4x+4=0\) и \(\frac{x+2}{x-1}=0\);
- \(\frac{x^2-9}{x-3}=0\) и \(x+3=0\);
- \(\frac{x+1}{x+1}=0\) и \(\frac{x^2-1}{x^2-1}=0\).
4.3. Составьте какое-нибудь уравнение, равносильное данному:
- \(|x|=1\);
- \(x+6=x-2\);
- \(\frac{x-1}{x-1}=1\).
4.4. Будет ли уравнение, полученное в результате указанного преобразования, равносильным данному:
- в уравнении \(3(2x-1)-5(4x+2)=1\) раскрыть скобки и привести подобные слагаемые;
- в уравнении \(x^2+\frac{1}{x-7}-\frac{1}{x-7}=49\) разность \(\frac{1}{x-7}-\frac{1}{x-7}\) заменить нулём;
- в уравнении \(\frac{x^2-1}{x-1}+3x-5=0\) сократить дробь;
- обе части уравнения \(x^3=x\) разделить на \(x\);
- обе части уравнения \((x+1)(x^2+4)=x^2+4\) разделить на \(x^2+4\);
- обе части уравнения \(\frac{x^2}{x}=2\) умножить на \(x\);
- обе части уравнения \(2x+1=5\) умножить на \(x+1\).
На фото несколько упражнений — 4.1–4.4. Я разобрал всю страницу. Везде рассматриваются действительные корни; уравнения равносильны, если множества их корней совпадают.
Краткие ответы
4.1: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) да; 7) нет; 8) да; 9) да; 10) да.
4.2: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) да; 7) да; 8) да.
4.3. Например:
- \(x^2=1\);
- \(x^2+1=0\);
- \(\dfrac{2x-2}{x-1}=2\).
4.4: 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) нет; 5) да; 6) нет; 7) нет.
4.1. Проверка по корням
| № | Корни 1-го уравнения | Корни 2-го уравнения | Равносильны? |
|---|---|---|---|
| 1 | \(3\) | \(3\) | да |
| 2 | \(5\) | \(0;\,5\) | нет: появился лишний корень \(0\) |
| 3 | \(\varnothing\) | \(\varnothing\) | да |
| 4 | \(\mathbb R\) | \(\mathbb R\) | да |
| 5 | \(1\) | \(-1;\,1\) | нет |
| 6 | \(-1;\,1\) | \(-1;\,1\) | да |
| 7 | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \(\mathbb R\) | нет: в первом \(x\ne0\) |
| 8 | \(-1\) | \(-1\) | да |
| 9 | \(1\) | \(1\) | да, но в первом \(x\ne-1\) |
| 10 | \(-3;\,3\) | \(-3;\,3\) | да, но в первом \(x\ne-2\) |
В пунктах 3, 5, 8 из 4.2 оба уравнения не имеют действительных корней, поэтому они равносильны.
4.2. Проверка по корням
| № | Корни 1-го уравнения | Корни 2-го уравнения | Равносильны? |
|---|---|---|---|
| 1 | \(4\) | \(4\) | да |
| 2 | \(0;\,1\) | \(1\) | нет |
| 3 | \(\varnothing\) | \(\varnothing\) | да |
| 4 | \(\mathbb R\setminus\{-1\}\) | \(\mathbb R\) | нет: в первом \(x\ne-1\) |
| 5 | \(\varnothing\) | \(\varnothing\) | да |
| 6 | \(-2\) | \(-2\) | да |
| 7 | \(-3\) | \(-3\) | да, но в первом \(x\ne3\) |
| 8 | \(\varnothing\) | \(\varnothing\) | да |
Ключевая идея: при сокращении дробей и «зачёркивании» одинаковых слагаемых надо следить за ОДЗ — нельзя случайно добавить или потерять корень.
4.3. Примеры равносильных уравнений
\(|x|=1\) равносильно \(x^2=1\): оба имеют корни \(-1;\,1\).
\(x+6=x-2\) после переноса даёт \(6=-2\), корней нет. Подойдёт, например, \(x^2+1=0\) — тоже нет действительных корней.
\(\dfrac{x-1}{x-1}=1\) верно при всех \(x\ne1\). Уравнение \[ \frac{2x-2}{x-1}=2 \] тоже верно при всех \(x\ne1\), значит, оно равносильно исходному.
4.4. Сохраняется ли равносильность при преобразовании
| № | Что происходит | Вывод |
|---|---|---|
| 1 | \(3(2x-1)-5(4x+2)=1\) после раскрытия скобок: \(-14x-13=1\), корень \(x=-1\) | да |
| 2 | Исходное имеет ОДЗ \(x\ne7\) и корень \(-7\). После замены разности нулём получаем \(x^2=49\), корни \(-7;\,7\). Появился лишний \(x=7\) | нет |
| 3 | Исходное: ОДЗ \(x\ne1\), после сокращения получаем \(4x-4=0\), то есть \(x=1\), но он запрещён. У нового уравнения корень \(1\) есть | нет |
| 4 | \(x^3=x\) имеет корни \(-1;\,0;\,1\). После деления на \(x\): \(x^2=1\), корни \(-1;\,1\). Потерян \(0\) | нет |
| 5 | Делим на \(x^2+4\), а \(x^2+4>0\) при всех \(x\). Оба уравнения дают \(x=0\) | да |
| 6 | Исходное: \(x=2\) при \(x\ne0\). После умножения на \(x\): \(x^2=2x\), корни \(0;\,2\). Появился лишний \(0\) | нет |
| 7 | Исходное: \(x=2\). После умножения на \(x+1\): \((2x+1)(x+1)=5(x+1)\), корни \(-1;\,2\). Появился лишний \(-1\) | нет |
Главное правило: раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые безопасно; опасно делить или умножать на выражение с переменной, не проверяя, может ли оно равняться нулю. В пунктах 4.4(2) и 4.4(3) равносильность можно сохранить, если отдельно записать ОДЗ \(x\ne7\) и \(x\ne1\).
