ответ

Question

ответ

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 1

1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1. $x^2 - 5x - 24$; 2) $3x^2 - 10x - 8$.

2. Решите уравнение:

1. $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$; 2) $\frac{x^2 - 2x}{x - 7} = \frac{35}{x - 7}$.

3. Сократите дробь: $\frac{3a^2 + 7a - 6}{a^2 - 9}$.

4. Решите уравнение $\frac{5}{x^2 - 4x + 4} - \frac{4}{x^2 - 4} = \frac{1}{x + 2}$.

5. Лодка прошла 16 км по течению реки и 18 км против течения, затратив на путь против течения на 1 ч больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

6. Постройте график функции $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}$.

Вариант 2

1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1. $x^2 + 3x - 40$; 2) $6x^2 + x - 12$.

2. Решите уравнение:

1. $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$; 2) $\frac{x^2 + 12}{x - 3} = \frac{7x}{x - 3}$.

3. Сократите дробь: $\frac{5a^2 + 9a - 2}{a^2 - 4}$.

4. Решите уравнение $\frac{4}{x^2 - 10x + 25} - \frac{10}{x^2 - 25} = \frac{1}{x + 5}$.

5. Моторная лодка прошла 48 км по течению реки и 70 км против течения, затратив на путь по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

6. Постройте график функции $y = \frac{x^2 - 3x - 4}{x + 1}$.

Answer

На фото два варианта. Ниже — ответы для обоих: сначала сверь номер варианта.

Вариант 1

1.
1. $(x-8)(x+3)$; 2) $(3x+2)(x-4)$.

2.
1. $x=\pm 2$; 2) $x=-5$.

3. $\dfrac{3a-2}{a-3}$, при $a\ne \pm 3$.

4. $x=7$.

5. $7$ км/ч.

6. Прямая $y=x-1$, но точка $(2;1)$ выколота.

Вариант 2

1.
1. $(x-5)(x+8)$; 2) $(3x-4)(2x+3)$.

2.
1. $x=\pm 4$; 2) $x=4$.

3. $\dfrac{5a-1}{a-2}$, при $a\ne \pm 2$.

4. $x=9$.

5. $30$ км/ч.

6. Прямая $y=x-4$, но точка $(-1;-5)$ выколота.

Как получаются такие ответы

1. Разложение квадратного трёхчлена.
Находим корни $x_1,x_2$, затем записываем:
$$
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).
$$
Например, у $x^2-5x-24$ корни $8$ и $-3$, поэтому
$$
x^2-5x-24=(x-8)(x+3).
$$
Если старший коэффициент не равен 1, его вносим в скобку. Для $3x^2-10x-8$ корни $4$ и $-\frac23$, поэтому
$$
3(x-4)\left(x+\frac23\right)=(x-4)(3x+2).
$$

2. Уравнения.
Биквадратное уравнение решается заменой $t=x^2$, причём $t\ge 0$.
Например:
$$
x^4-3x^2-4=0,\quad t=x^2,
$$
$$
t^2-3t-4=0 \Rightarrow t=4 \text{ или } t=-1.
$$
Отрицательный корень не подходит, значит $x^2=4$, откуда $x=\pm2$.

В дробном уравнении сначала учитываем ОДЗ. В варианте 1:
$$
\frac{x^2-2x}{x-7}=\frac{35}{x-7},\quad x\ne7.
$$
После умножения на $x-7$:
$$
x^2-2x=35 \Rightarrow x^2-2x-35=0.
$$
Корни: $7$ и $-5$. Но $x=7$ недопустим, поэтому остаётся только $x=-5$.

3. Сокращение дробей.
В варианте 1:
$$
3a^2+7a-6=(3a-2)(a+3),
$$
$$
a^2-9=(a-3)(a+3).
$$
Общий множитель $a+3$ сокращается:
$$
\frac{3a^2+7a-6}{a^2-9}=\frac{3a-2}{a-3}.
$$
При этом исходная дробь не существует при $a=3$ и $a=-3$.

4. Дробно-рациональные уравнения.
В варианте 1 знаменатели раскладываются так:
$$
x^2-4x+4=(x-2)^2,\quad x^2-4=(x-2)(x+2).
$$
ОДЗ: $x\ne\pm2$. После умножения на общий знаменатель:
$$
5(x+2)-4(x-2)=(x-2)^2.
$$
$$
x+18=x^2-4x+4,
$$
$$
x^2-5x-14=0,
$$
$$
x=7 \text{ или } x=-2.
$$
Корень $-2$ недопустим, поэтому ответ: $x=7$.

5. Задачи на движение по реке.
Собственная скорость лодки $v$. По течению скорость $v+1$, против течения $v-1$.
В варианте 1:
$$
\frac{18}{v-1}-\frac{16}{v+1}=1.
$$
Получаем:
$$
v^2-2v-35=0,
$$
$$
v=7 \text{ или } v=-5.
$$
Скорость положительна, значит $v=7$ км/ч.
Проверка: против течения $18:6=3$ ч, по течению $16:8=2$ ч; разница действительно 1 ч.

6. Графики.
В варианте 1:
$$
y=\frac{x^2-3x+2}{x-2}
=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}.
$$
При $x\ne2$ график совпадает с прямой
$$
y=x-1.
$$
Но точку $x=2$ надо «выколоть»: в ней $y=2-1=1$.
То есть это прямая $y=x-1$ с выколотой точкой $(2;1)$.