Домашнее задание по теме: «Квадратные корни. Степени» алгебра, 8 класс Вариант 1 1. Вычислите: а) √36 · √25; б) √32 · √72; в) √5 · √10 · √50;

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Домашнее задание

по теме: «Квадратные корни. Степени»

алгебра, 8 класс

Внимательно прочитайте каждое задание от начала до конца перед тем, как начать его решать.

Пишите аккуратно и разборчиво. Решения должны быть полными: покажите каждый шаг.

Вариант 1

1. Вычислите: а) $\sqrt{36}\cdot\sqrt{25}$; б) $\sqrt{32}\cdot\sqrt{72}$; в) $\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{50}$;

г) $(\sqrt{12}\cdot\sqrt{75}):\sqrt{9}$; д) $\sqrt{(4,1)^2}$.

2. Выполните действия: а) $(2\sqrt{6}+4)(2\sqrt{6}-4)$; б) $(2\sqrt{3}+\sqrt{5})^2-4\sqrt{15}$.

3. Найдите значение выражения: а) $2^{-3}\cdot 2^{6}$; б) $7^{4}:7^{11}$; в) $4^{-2}\cdot 8^{4}:16^{2}$.

Answer

Краткий ответ

1. а) $30$; б) $48$; в) $50$; г) $10$; д) $4{,}1$

2. а) $8$; б) $17$

3. а) $8$; б) $7^{-7}=\dfrac{1}{823\,543}$; в) $1$

Какие правила здесь нужны

1. Произведение корней: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ (для $a,b\ge 0$). Поэтому «перемножить подкоренные выражения, потом извлечь корень» часто проще, чем считать каждый корень отдельно.

2. $\sqrt{a^{2}}=|a|$ — корень из квадрата равен модулю числа.

3. Формулы сокращённого умножения: $(x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}$, $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$.

4. Свойства степеней: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$, $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$, $(a^{m})^{n}=a^{mn}$, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$. Если основания разные — приводим их к одному (например, всё к двойке).

Задание 1

а) $\sqrt{36}\cdot\sqrt{25}=6\cdot 5=30$.

б) Удобно вынести множители: $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$, $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$, тогда
$$
4\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=24\cdot 2=48.
$$
Проверка: $48^{2}=2304=32\cdot 72$ — верно.

в) $\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{50}=\sqrt{5\cdot 10\cdot 50}=\sqrt{2500}=50$.

г) Сначала числитель: $\sqrt{12}\cdot\sqrt{75}=\sqrt{900}=30$, а $\sqrt{9}=3$. Значит $30:3=10$.

д) $\sqrt{(4{,}1)^{2}}=|4{,}1|=4{,}1$ (модуль нужен, если под квадратом буква: $\sqrt{x^{2}}=|x|$).

Задание 2

а) Это разность квадратов, где $x=2\sqrt{6}$, $y=4$:
$$
(2\sqrt{6}+4)(2\sqrt{6}-4)=(2\sqrt{6})^{2}-4^{2}=4\cdot 6-16=24-16=8.
$$

б) Квадрат суммы, затем приведение подобных:
$$
(2\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}-4\sqrt{15}=12+4\sqrt{15}+5-4\sqrt{15}=17.
$$

Задание 3

а) $2^{-3}\cdot 2^{6}=2^{-3+6}=2^{3}=8$.

б) $7^{4}:7^{11}=7^{4-11}=7^{-7}=\dfrac{1}{7^{7}}=\dfrac{1}{823\,543}$ (отрицательная степень — это единица, делённая на положительную степень).

в) Приводим всё к основанию $2$: $4=2^{2}$, $8=2^{3}$, $16=2^{4}$:
$$
4^{-2}\cdot 8^{4}:16^{2}=2^{-4}\cdot 2^{12}:2^{8}=2^{-4+12-8}=2^{0}=1.
$$

Проверка

Задание 3в «в лоб»: $\dfrac{1}{16}\cdot 4096:256=256:256=1$ — совпало.

В 2б корни $\sqrt{15}$ взаимно уничтожились — это признак, что приведение подобных сделано верно.

Общее правило самопроверки: после упрощения подставьте приближённые значения корней — результаты должны совпасть.