Домашнее задание 1 Решите систему уравнений графически и аналитически: а) x² + y² = 16, x − y = 4; б) y = x² + 1, x + 2y = 5.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Домашнее задание 1 Решите систему уравнений графически и аналитически: а) \(\begin{cases}x^2+y^2=16,\\x-y=4;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}y=x^2+1,\\x+2y=5.\end{cases}\) 2 Решите систему уравнений графически и аналитически: \[\begin{cases}(x-1)(y+10)=9,\\x-y=11.\end{cases}\]
Краткий ответ
- 1, а) \((0;-4)\), \((4;0)\)
- 1, б) \(\left(-\frac{3}{2};\frac{13}{4}\right)\), \((1;2)\)
- 2) \((-2;-13)\), \((4;-7)\)
Как это решать
Общий приём: из линейного уравнения выражаем одну переменную, подставляем в другое уравнение и решаем получившееся квадратное уравнение. На графике найденные пары — это точки пересечения графиков.
1, а)
Из \(x-y=4\) получаем \(y=x-4\). Подставляем:
\[ x^2+(x-4)^2=16 \]
\[ 2x^2-8x=0,\qquad 2x(x-4)=0 \]
Отсюда \(x=0\) или \(x=4\). Тогда \(y=-4\) или \(y=0\).
Графически это окружность \(x^2+y^2=16\) радиуса \(4\) с центром в начале координат и прямая \(y=x-4\); они пересекаются в точках \((0;-4)\) и \((4;0)\).
1, б)
Из \(x+2y=5\) выражаем \(y=\frac{5-x}{2}\). Подставляем в \(y=x^2+1\):
\[ x^2+1=\frac{5-x}{2} \]
\[ 2x^2+x-3=0 \]
\[ D=1+24=25,\qquad x=\frac{-1\pm5}{4} \]
Значит, \(x=1\) или \(x=-\frac{3}{2}\). Соответственно \(y=2\) и \(y=\frac{13}{4}\).
На графике парабола \(y=x^2+1\) и прямая \(x+2y=5\) пересекаются в этих двух точках.
2.
Из \(x-y=11\) имеем \(y=x-11\). Тогда \(y+10=x-1\). Подставляем:
\[ (x-1)(y+10)=9 \]
\[ (x-1)^2=9 \]
\[ x-1=\pm3 \]
Отсюда \(x=4\) или \(x=-2\). По уравнению \(y=x-11\):
- при \(x=4\): \(y=-7\);
- при \(x=-2\): \(y=-13\).
Графически прямая \(y=x-11\) пересекает гиперболу \((x-1)(y+10)=9\) в точках \((4;-7)\) и \((-2;-13)\).
Проверка: все найденные пары при подстановке дают верные равенства в исходных системах.
Обсуждение
4 сообщенияДумай быстрее
Понял, короче.
1, а)
\(x-y=4 \Rightarrow y=x-4\).
\(x^2+(x-4)^2=16 \Rightarrow x(x-4)=0\).
Ответ: \((0;-4)\), \((4;0)\).
Графически — пересечение окружности \(x^2+y^2=16\) и прямой \(y=x-4\).
1, б)
\(x+2y=5 \Rightarrow y=\frac{5-x}{2}\).
\(2x^2+x-3=0 \Rightarrow x=1\) или \(x=-\frac32\).
Ответ: \((1;2)\), \(\left(-\frac32;\frac{13}{4}\right)\).
Графически — пересечение параболы \(y=x^2+1\) и прямой \(x+2y=5\).
2.
\(x-y=11 \Rightarrow y=x-11\), тогда \(y+10=x-1\).
\((x-1)^2=9 \Rightarrow x=4\) или \(x=-2\).
Ответ: \((4;-7)\), \((-2;-13)\).
Графически — пересечение прямой \(y=x-11\) и гиперболы \((x-1)(y+10)=9\).
На графике просто отметь найденные точки пересечения.
Как построить график из второго задания?
Строить нужно два графика в одной системе координат.
1. Прямая
Из \(x-y=11\):
\[ y=x-11 \]
Это прямая. Для построения хватит двух точек:
\[ (0;-11),\qquad (4;-7) \]
Можно взять ещё \((-2;-13)\). Через эти точки проводим прямую.
2. Гипербола
Преобразуем первое уравнение:
\[ (x-1)(y+10)=9 \]
\[ y+10=\frac{9}{x-1} \]
\[ y=\frac{9}{x-1}-10 \]
Это гипербола \(y=\frac{9}{x}\), сдвинутая на \(1\) вправо и на \(10\) вниз.
Её асимптоты:
\[ x=1,\qquad y=-10 \]
Их рисуют пунктиром.
Точки для построения:
| \(x\) | \(-8\) | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-11\) | \(-13\) | \(-19\) | \(-1\) | \(-7\) | \(-9\) |
Ещё можно взять \((1{,}5;\,8)\) — ветвь справа резко уходит вверх около \(x=1\).
Важно: ветви гиперболы не соединяются. Слева от \(x=1\) идёт нижняя ветвь, справа — верхняя.
3. Точки пересечения
Прямая и гипербола пересекаются в точках:
\[ (-2;-13)\quad \text{и}\quad (4;-7) \]
Их нужно отметить на графике и подписать. Именно эти точки и являются графическим решением системы.
