Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Разберём именно переход

\[ x^2-5x+6 \;\to\; (x-2)(x-3). \]

Откуда вообще берётся \(x\) в скобках

Мы хотим записать трёхчлен в виде произведения двух скобок с неизвестными числами:

\[ x^2-5x+6=(x+a)(x+b). \]

Раскроем правую часть «фонтанчиком»: каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй.

\[ (x+a)(x+b)=x\cdot x+x\cdot b+a\cdot x+a\cdot b=x^2+(a+b)x+ab. \]

Вот здесь \(x\) и появляется: это результат умножения \(x\cdot x\) и \(x\cdot b\) — то есть \(x\) «приходит» из самих скобок, а не берётся откуда-то извне.

Сравниваем с исходным трёхчленом

\[ x^2+(a+b)x+ab = x^2-5x+6. \]

Значит, должны выполняться два условия:

\[ a+b=-5,\qquad ab=6. \]

То есть нужны два числа, которые в сумме дают \(-5\), а в произведении \(6\). Подходят \(-2\) и \(-3\): проверяем \(-2+(-3)=-5\) и \((-2)\cdot(-3)=6\).

Отсюда

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Проверка раскрытием скобок

\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]

Совпало с исходным выражением, значит разложение верное.

И последний шаг

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2,\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]

Ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).

Если хочешь, могу показать этот же пример через дискриминант — там \(x\) в решении появляется уже по готовой формуле.