расскажи о призме и ее формулах
Кратко
Призма — многогранник, у которого две грани (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы.
Главная идея всех формул: объём призмы — это площадь основания, «растянутая» на высоту, а боковая поверхность — это периметр основания, «растянутый» вдоль бокового ребра.
Элементы и виды
- Основания — два равных \(n\)-угольника; боковые грани — параллелограммы; боковые рёбра — равны и параллельны.
- Высота \(h\) — расстояние между плоскостями оснований.
- Прямая призма — боковые рёбра перпендикулярны основаниям, тогда \(h\) равна боковому ребру, а боковые грани — прямоугольники.
- Наклонная призма — боковые рёбра наклонены к основанию.
- Правильная призма — прямая призма, в основании которой правильный многоугольник.
Формулы
Объём (для любой призмы, и прямой, и наклонной):
\[ V = S_{\text{осн}} \cdot h \]
Боковая поверхность прямой призмы:
\[ S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h \]
Боковая поверхность наклонной призмы (через перпендикулярное сечение — сечение плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам):
\[ S_{\text{бок}} = P_{\perp} \cdot l, \qquad V = S_{\perp} \cdot l \]
где \(l\) — длина бокового ребра, \(P_\perp\) и \(S_\perp\) — периметр и площадь перпендикулярного сечения.
Полная поверхность:
\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} \]
Частный случай — прямоугольный параллелепипед (прямая призма, в основании прямоугольник \(a\times b\), высота \(c\)):
\[ V = abc, \qquad S_{\text{полн}} = 2(ab+bc+ac), \qquad d^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2} \]
Пример с проверкой
Правильная треугольная призма: сторона основания \(a = 2\), высота \(h = 5\).
Основание — равносторонний треугольник:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \]
Объём:
\[ V = S_{\text{осн}} \cdot h = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \]
Боковая поверхность (три прямоугольника \(2\times 5\)):
\[ S_{\text{бок}} = 3 \cdot 2 \cdot 5 = 30 \]
Полная поверхность:
\[ S_{\text{полн}} = 30 + 2\sqrt{3} \approx 33{,}46 \]
Проверка: подставим \(a = 1\), \(h = 1\) — получим куб с ребром 1. Тогда \(S_{\text{бок}} = 4\), \(S_{\text{полн}} = 4 + 2 = 6\), \(V = 1\) — всё совпадает с известными формулами куба \(S = 6a^{2}\), \(V = a^{3}\). Значит, формулы собраны верно.
Принцип, который стоит запомнить: почти любая задача о призме сводится к двум вопросам — «чему равна площадь основания?» и «чему равна высота (или боковое ребро)?». Как только они найдены, объём и поверхности считаются по формулам выше.
Обсуждение
6 сообщенийпирамида и ее формулы
Кратко
Пирамида — многогранник, у которого одна грань (основание) — многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной.
Ключевая формула: объём пирамиды — это ровно треть объёма призмы с тем же основанием и той же высотой.
\[ V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \]
Элементы и виды
- Основание — \(n\)-угольник; боковые грани — треугольники; вершина — общая точка всех боковых граней.
- Высота \(h\) — перпендикуляр из вершины к плоскости основания (может упасть и вне основания — пирамида всё равно такая).
- Правильная пирамида — в основании правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр. Тогда все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
- Апофема \(l\) — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины к стороне основания.
Формулы
Объём (для любой пирамиды):
\[ V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \]
Боковая поверхность правильной пирамиды:
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l \]
Полная поверхность:
\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} \]
Связь апофемы, высоты и основания (правильная пирамида, \(r\) — радиус вписанной в основание окружности):
\[ l^{2} = h^{2} + r^{2} \]
Боковое ребро (\(R\) — радиус описанной около основания окружности):
\[ b^{2} = h^{2} + R^{2} \]
Усечённая пирамида (\(S_1\), \(S_2\) — площади оснований):
\[ V = \frac{h}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right), \qquad S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}\left(P_1 + P_2\right) \cdot l \]
Правильный тетраэдр с ребром \(a\):
\[ V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}, \qquad S_{\text{полн}} = a^{2}\sqrt{3}, \qquad h = a\sqrt{\frac{2}{3}} \]
Пример с проверкой
Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания \(a = 2\), высота \(h = 3\).
Основание — квадрат:
\[ S_{\text{осн}} = a^{2} = 4 \]
Объём:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 3 = 4 \]
Апофема (\(r = \frac{a}{2} = 1\)):
\[ l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3{,}16 \]
Боковая и полная поверхность:
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{10} = 4\sqrt{10} \approx 12{,}65 \]
\[ S_{\text{полн}} = 4 + 4\sqrt{10} \approx 16{,}65 \]
Проверка: призма с тем же квадратом \(2\times 2\) и высотой 3 имеет объём \(4 \cdot 3 = 12\). Пирамида дала 4 — ровно втрое меньше, как и требует коэффициент \(\frac{1}{3}\). ✔
Что запомнить
- Объём любой пирамиды — всегда \(\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h\), наклонная она или нет; важно только, что \(h\) — перпендикулярная высота.
- Формула \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}P l\) работает только для правильной пирамиды; в остальных случаях боковую поверхность считают как сумму площадей треугольников.
- Почти все задачи сводятся к прямоугольному треугольнику «высота — апофема (или ребро) — отрезок в основании»: находишь в нём неизвестное, дальше подставляешь в формулы.
усеченная пирамида и формулы
Кратко
Усечённая пирамида получается, если пирамиду рассечь плоскостью, параллельной основанию, и отбросить верхнюю часть. Два основания подобны, боковые грани — трапеции (у правильной усечённой пирамиды — равнобедренные).
Главная формула — объём:
\[ V = \frac{h}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right) \]
где \(S_1, S_2\) — площади оснований, \(h\) — расстояние между их плоскостями.
Обозначения и подобие
- \(a_1, a_2\) — соответственные стороны нижнего и верхнего оснований, \(k = \dfrac{a_1}{a_2}\) — коэффициент подобия;
- \(P_1, P_2\) — периметры оснований, \(h\) — высота, \(l\) — апофема (высота боковой грани-трапеции).
Из подобия:
\[ \frac{P_1}{P_2} = k, \qquad \frac{S_1}{S_2} = k^{2}, \qquad \frac{V_{\text{отсеч}}}{V_{\text{полн}}} = \frac{1}{k^{3}} \]
Формулы
Объём — для любой усечённой пирамиды:
\[ V = \frac{h}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right) \]
Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды:
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}\left(P_1 + P_2\right)\cdot l \]
Полная поверхность:
\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_1 + S_2 \]
Связь апофемы с высотой (\(r_1, r_2\) — радиусы вписанных в основания окружностей):
\[ l^{2} = h^{2} + \left(r_2 - r_1\right)^{2} \]
Связь бокового ребра с высотой (\(R_1, R_2\) — радиусы описанных окружностей):
\[ b^{2} = h^{2} + \left(R_2 - R_1\right)^{2} \]
Через объёмы целых пирамид (часто удобнее):
\[ V = V_{\text{большой}} - V_{\text{маленькой}} \]
Пример с проверкой
Правильная четырёхугольная усечённая пирамида: стороны оснований \(a_1 = 4\), \(a_2 = 2\), высота \(h = 3\).
Площади оснований: \(S_1 = 16\), \(S_2 = 4\), причём \(\sqrt{S_1S_2} = \sqrt{64} = 8\).
\[ V = \frac{3}{3}\left(16 + 4 + 8\right) = 28 \]
Апофема (\(r_1 = 2\), \(r_2 = 1\)):
\[ l = \sqrt{3^{2} + (1 - 2)^{2}} = \sqrt{10} \]
Боковая и полная поверхность:
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}(16 + 8)\sqrt{10} = 12\sqrt{10} \approx 37{,}9 \]
\[ S_{\text{полн}} = 12\sqrt{10} + 20 \approx 57{,}9 \]
Проверка двумя способами.
Через целые пирамиды: основание \(k = 2\), значит верхняя отсечённая пирамида подобна полной с коэффициентом \(\frac{1}{2}\), её высота \(3\), значит высота полной \(H = 6\). Тогда \(V_{\text{полн}} = \frac{1}{3}\cdot 16\cdot 6 = 32\), \(V_{\text{отсеч}} = \frac{1}{3}\cdot 4\cdot 3 = 4\), разность \(32 - 4 = 28\). Совпало. ✔
Через грани: каждая боковая грань — трапеция с основаниями 4 и 2 и высотой \(\sqrt{10}\), её площадь \(\frac{4+2}{2}\sqrt{10} = 3\sqrt{10}\), четыре грани дают \(12\sqrt{10}\). Совпало. ✔
Что запомнить
- Формула объёма «всёобщая»: при \(S_1 = S_2 = S\) она даёт \(V = Sh\) (призма), при \(S_2 = 0\) — \(V = \frac{1}{3}Sh\) (пирамида). Значит, её не нужно бояться — это обобщение уже известных формул.
- Если в задаче даны стороны оснований и высота целой пирамиды, объём усечённой проще искать как разность объёмов двух подобных пирамид.
- Апофема находится в прямоугольном треугольнике, где катеты — высота и разность соответствующих радиусов: именно разность, потому что верхнее основание «сдвинуто внутрь».
шар и формулы
Кратко
Сфера — множество точек, удалённых от центра на расстояние \(R\). Шар — тело, ограниченное сферой (внутренность).
Две главные формулы:
\[ S = 4\pi R^{2}, \qquad V = \frac{4}{3}\pi R^{3} \]
Интересно, что поверхность сферы равна площади четырёх её больших кругов, а объём шара — это \(\frac{2}{3}\) объёма описанного цилиндра (открытие Архимеда).
Формулы
Сечение плоскостью (на расстоянии \(d\) от центра):
\[ r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}, \qquad S_{\text{сеч}} = \pi\left(R^{2} - d^{2}\right) \]
Шаровой сегмент (высота \(h\), отсечён плоскостью):
\[ S_{\text{пов}} = 2\pi R h, \qquad V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3R - h\right) = \pi h^{2}\left(R - \frac{h}{3}\right) \]
Шаровой пояс (зона) — поверхность между двумя параллельными сечениями:
\[ S = 2\pi R h \]
Шаровой слой (\(r_1, r_2\) — радиусы сечений, \(h\) — расстояние между ними):
\[ V = \frac{\pi h}{6}\left(3r_1^{2} + 3r_2^{2} + h^{2}\right) \]
Шаровой сектор (тело из конуса и сегмента):
\[ V = \frac{2}{3}\pi R^{2} h \]
Описанный цилиндр (радиус \(R\), высота \(2R\)) — результат Архимеда:
\[ V_{\text{ц}} = \frac{3}{2}V_{\text{ш}}, \qquad S_{\text{ц}} = \frac{3}{2}S_{\text{ш}} \]
Куб с ребром \(a\):
\[ R_{\text{впис}} = \frac{a}{2}, \qquad R_{\text{опис}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]
Прямоугольный параллелепипед \(a\times b\times c\):
\[ R_{\text{опис}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \]
Пример с проверкой
Шар \(R = 3\). Тогда:
\[ S = 4\pi \cdot 9 = 36\pi \approx 113{,}1 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113{,}1 \]
При \(R = 3\) численные значения площади и объёма совпадают — удобное «самопроверочное» число.
Сечение на расстоянии \(d = 2\) от центра: \(r = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\), площадь \(5\pi \approx 15{,}7\).
Шаровой сегмент высотой \(h = 1\):
\[ V = \frac{\pi \cdot 1}{3}\left(9 - 1\right) = \frac{8\pi}{3} \approx 8{,}38, \qquad S_{\text{пов}} = 2\pi \cdot 3 \cdot 1 = 6\pi \approx 18{,}85 \]
Проверка. Разрежем шар на два сегмента высотами \(h_1 = 1\) и \(h_2 = 2R - h_1 = 5\). Их объёмы:
\[ \frac{\pi}{3}\left(9 - 1\right) = \frac{8\pi}{3}, \qquad \frac{\pi \cdot 25}{3}\left(9 - 5\right) = \frac{100\pi}{3} \]
Сумма:
\[ \frac{8\pi}{3} + \frac{100\pi}{3} = \frac{108\pi}{3} = 36\pi \]
Это ровно объём всего шара. Значит, формула сегмента верна. ✔
Второй контроль — формула шарового слоя при \(h = 2R\), \(r_1 = r_2 = 0\):
\[ V = \frac{\pi \cdot 2R}{6}\left(0 + 0 + 4R^{2}\right) = \frac{4}{3}\pi R^{3} \]
Снова объём шара. ✔
Что запомнить
- \(S = 4\pi R^{2}\) и \(V = \frac{4}{3}\pi R^{3}\) — база; при увеличении радиуса в \(k\) раз площадь растёт в \(k^{2}\), объём — в \(k^{3}\).
- Любая «нарезка» шара плоскостями сводится к теореме Пифагора: \(R^{2} = d^{2} + r^{2}\) — это ключ к сечениям, сегментам и поясам.
- Объёмные формулы сегмента и слоя удобно проверять крайними случаями: \(h = 2R\) даёт весь шар, \(h = R\) — полушарие \(\frac{2}{3}\pi R^{3}\).
