как правильно Амирчек или Амирчик?

Краткий ответ

Правильно — Амирчик (через и).

Почему так

Здесь работает правило о суффиксах -ик и -ек у существительных. Способ проверки простой: измени слово — поставь его в родительный падеж (кого? чего?) или в другую форму.

• Если гласная в суффиксе сохраняется — пишем -ик: мячик — мячика, бантик — бантика.
• Если гласная выпадает — пишем -ек: замочек — замочка, платочек — платочка.

Проверяем наш случай:

\[ \text{Амирчик} \rightarrow \text{Амирчик-а, Амирчик-у, об Амирчик-е} \]

Гласная и никуда не исчезает, значит, суффикс — -ик, а не -ек. Вариант «Амирчек» дал бы форму «Амирчка», а так никто не говорит.

Проверка результата

Подставь слово в предложение и просклоняй:

• Я передал подарок Амирчику.
• Я давно не видел Амирчика.
• Мы говорили об Амирчике.

Во всех формах «и» на месте — значит, написание Амирчик верное.

Небольшое уточнение: если речь об официальном имени в документах, там написание зависит от записи в свидетельстве о рождении. Но как уменьшительно-ласкательная форма по правилу пишется Амирчик.