13.12. Арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі мен айырымын табыңдар:

На фото несколько номеров; я разобрал отмеченные галочками: 13.12 (пункты 3 и 4) и 13.14. Если нужен другой номер, напиши его.

Краткие ответы

• 13.12(3): \(c_1=-21{,}8\), \(d=2{,}5\).
• 13.12(4): \(c_1=32{,}2\), \(d=-1{,}8\).
• 13.14: \(a_1=-8\), \(d=\frac{16}{15}\); отрицательных членов 8; сумма первых десяти членов \(S_{10}=-32\).
  В тексте стоит «алғашқы он мүшесін табыңдар» — буквально «найдите первые десять членов». Обычно здесь имеют в виду сумму; ниже я привёл и сумму, и сами члены.

Как решать: ключевой приём

Для арифметической прогрессии \[ a_n=a_1+(n-1)d. \] Если известны два члена, составляем два уравнения и вычитаем одно из другого — так сразу находится разность \(d\), а затем первый член.

13.12(3)

\[ \begin{cases} c_1+8d=-1{,}8,\\ c_1+18d=23{,}2. \end{cases} \] Вычитаем: \[ 10d=25 \quad\Rightarrow\quad d=2{,}5. \] Тогда \[ c_1=-1{,}8-8\cdot2{,}5=-21{,}8. \] Проверка: \[ c_{19}=-21{,}8+18\cdot2{,}5=23{,}2. \]

13.12(4)

\[ \begin{cases} c_1+16d=3{,}4,\\ c_1+28d=-18{,}2. \end{cases} \] Вычитаем: \[ 12d=-21{,}6 \quad\Rightarrow\quad d=-1{,}8. \] Тогда \[ c_1=3{,}4-16\cdot(-1{,}8)=32{,}2. \] Проверка: \[ c_{29}=32{,}2+28\cdot(-1{,}8)=-18{,}2. \]

13.14

\[ \begin{cases} a_1+6d=-1{,}6,\\ a_1+12d=4{,}8. \end{cases} \] Вычитаем: \[ 6d=6{,}4 \quad\Rightarrow\quad d=\frac{16}{15}. \] Тогда \[ a_1=-1{,}6-6\cdot\frac{16}{15}=-8. \]

2) Сколько отрицательных членов?
\[ a_n=-8+(n-1)\frac{16}{15}. \] Нужно \(a_n<0\): \[ -8+(n-1)\frac{16}{15}<0 \quad\Rightarrow\quad n-1<7{,}5 \quad\Rightarrow\quad n\le 8. \] Значит, отрицательных членов 8. Проверка: \[ a_8=-8+7\cdot\frac{16}{15}=-\frac{8}{15}<0,\qquad a_9=-8+8\cdot\frac{16}{15}=\frac{8}{15}>0. \]

3) Сумма первых десяти членов: \[ S_{10}=\frac{2a_1+9d}{2}\cdot10 =5\left(2\cdot(-8)+9\cdot\frac{16}{15}\right) =5(-16+9{,}6)=-32. \] Если нужны сами первые десять членов: \[ a_1=-8,\quad a_2=-\frac{104}{15},\quad a_3=-\frac{88}{15},\quad a_4=-4{,}8,\quad a_5=-\frac{56}{15}, \] \[ a_6=-\frac{8}{3},\quad a_7=-1{,}6,\quad a_8=-\frac{8}{15},\quad a_9=\frac{8}{15},\quad a_{10}=1{,}6. \]