Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Для уравнения вида
\[ x^2+px+q=0 \]
по теореме Виета:
\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \]
Здесь \(p=-5\), \(q=6\), поэтому нужны два числа, у которых:
\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6. \]
Подходят числа \(2\) и \(3\):
\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6. \]
Значит,
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка: при \(x=2\): \(4-10+6=0\); при \(x=3\): \(9-15+6=0\). Оба корня подходят.
Обсуждение
4 сообщенияНа кыргызском
Кыска жооп: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Теңдеме түрүндө:
\[ x^2+px+q=0 \]
Виеттин теоремасы боюнча:
\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \]
Бул жерде \(p=-5\), \(q=6\), демек:
\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6. \]
Бул шартты \(2\) жана \(3\) сандары канааттандырат:
\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6. \]
Ошондуктан квадраттык үч мүчөнү көбөйтүүчүлөргө ажыратабыз:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Көбөйтүндү нөлгө барабар болушу үчүн, жок дегенде бир көбөйтүүчү нөлгө барабар болушу керек:
\[ x-2=0 \quad\text{же}\quad x-3=0. \]
Демек:
\[ x=2 \quad\text{же}\quad x=3. \]
Текшерүү: \(x=2\) болгондо \(4-10+6=0\); \(x=3\) болгондо \(9-15+6=0\). Эки тамыр тең туура.
Не очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Коротко: \(x\) — это неизвестное число, которое мы ищем. Оно было в исходном уравнении \(x^2-5x+6=0\), и при разложении на скобки никуда не исчезает: \((x-2)(x-3)\) — это просто другая запись того же выражения. Проверим это умножением скобок.
Шаг 1. Раскрываем скобки
Правило: каждое слагаемое из первой скобки умножаем на каждое слагаемое из второй.
\[ (x-2)(x-3)=x\cdot x+x\cdot(-3)+(-2)\cdot x+(-2)\cdot(-3) \]
Считаем каждое произведение:
- \(x\cdot x=x^2\);
- \(x\cdot(-3)=-3x\);
- \((-2)\cdot x=-2x\);
- \((-2)\cdot(-3)=6\) (минус на минус даёт плюс).
Складываем:
\[ x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Вот откуда взялся \(x\): он всё время был в скобках. Именно из-за \(x\cdot x\) появляется \(x^2\), а из \(x\cdot(-3)\) и \((-2)\cdot x\) — слагаемые с \(x\).
Шаг 2. Почему это удобно
Мы переписали уравнение в виде произведения:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Здесь работает главное свойство нуля: произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому возможны два случая:
\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \]
\[ x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \]
То есть \(x-2\) обращается в ноль при \(x=2\), а \(x-3\) — при \(x=3\).
Шаг 3. Проверка
Подставим найденные числа в исходное уравнение:
- \(x=2\): \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\) — верно;
- \(x=3\): \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\) — верно.
Итог: \(x_1=2\), \(x_2=3\). Если хочешь, разберём так же похожий пример, например \(x^2-7x+12=0\), — попробуешь сам, а я проверю.
