№3 ctg x = -1 теңдемесин чыгар.

Жооп: 3-вариант — \(x = \dfrac{3\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

Ключтуу кадамдар

1. \(\text{ctg}\,x = a\) түрүндөгү теңдеменин жалпы чечими: \[ x = \text{arcctg}\,a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. \] Бул жерде котангенстин периоду \(\pi\) экени колдонулат — графиктеги кошуна чекиттер дал \(\pi\) аралыкта жатат.

2. \(\text{arcctg}(-1)\) — \((0;\pi)\) аралыгындагы, котангенси \(-1\) болгон бурч. Текшеребиз: \[ \text{ctg}\frac{3\pi}{4} = \frac{\cos\frac{3\pi}{4}}{\sin\frac{3\pi}{4}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1, \] демек \(\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}\). Кыска жол менен: \(\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}\,a\), анда \(\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\).

3. Ошондуктан: \[ x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. \]

Текшерүү: \(\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{4} + \pi n\right) = \text{ctg}\frac{3\pi}{4} = -1\) — туура.

Калган варианттар эмнеге жараксыз:

• №1 \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\): мында \(\text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1\), белгиси карама-каршы.
• №2 \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\): \(\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\) чынында туура, бирок период \(2\pi\) деп алынган. Котангенстин периоду \(\pi\) болгондуктан, чечимдердин жарымы жоголот: мисалы, \(x = \frac{3\pi}{4}\) бул формулага кирбейт.
• №4 \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\): ушундай эле ката — \(+2\pi n\) эмес, \(+\pi n\) болушу керек.

Демек бардык чечимди толук бере турган жалгыз вариант — үчүнчү.