15. Напишите уравнение функции, график которой симметричен графику функции y=5x+8:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Напишите уравнение функции, график которой симметричен графику функции \(y=5x+8\):
а) относительно оси \(y\): ___;
б) относительно оси \(x\): ___.
- Постройте график функции:
а) \(y=2|x|\);
На фото два читаемых задания — решаю оба.
Кратко
№15.
а) относительно оси \(y\): \[
\boxed{y=-5x+8}
\]
б) относительно оси \(x\): \[
\boxed{y=-5x-8}
\]
№103а. График \(y=2|x|\) — «галочка» с вершиной в точке \((0;0)\), ветви направлены вверх.
Как понять №15
При симметрии относительно оси \(y\) у точки меняется знак только у \(x\): \((x;y)\to(-x;y)\). Поэтому в формуле заменяем \(x\) на \(-x\): \[ y=5(-x)+8=-5x+8. \]
При симметрии относительно оси \(x\) меняется знак у \(y\): \((x;y)\to(x;-y)\). Поэтому заменяем \(y\) на \(-y\): \[ -y=5x+8 \quad\Rightarrow\quad y=-5x-8. \]
Проверка: исходная прямая пересекает ось \(y\) в точке \((0;8)\). При симметрии относительно оси \(y\) эта точка остаётся на месте; при симметрии относительно оси \(x\) она переходит в \((0;-8)\) — это согласуется с полученными формулами.
Как построить №103а
\[ y=2|x|= \begin{cases} 2x, & x\ge 0,\\ -2x, & x<0. \end{cases} \]
Берём несколько точек:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y & 4 & 2 & 0 & 2 & 4 \end{array} \]
Соединяем точки: слева от оси \(y\) получается луч \(y=-2x\), справа — луч \(y=2x\). Ветви симметричны относительно оси \(y\), потому что \(|-x|=|x|\).
Обсуждение
2 сообщенияЧто значит симметричен
Симметричен — значит «является зеркальным отражением». Если мысленно перегнуть плоскость по указанной оси, то исходный график и его отражение совпадут.
Правило для точек
- Относительно оси \(y\) (вертикальной): точка \((x;y)\) переходит в \((-x;y)\). Расстояние до оси по горизонтали сохраняется, а знак \(x\) меняется.
- Относительно оси \(x\) (горизонтальной): \((x;y)\to(x;-y)\). Знак меняется у \(y\).
Что это даёт для прямой \(y=5x+8\)
Прямая проходит через точку \((0;8)\) и поднимается вправо (угловой коэффициент \(5\)).
- Отражение относительно оси \(y\): точка \((0;8)\) остаётся на месте, а наклон меняет направление: было «вправо-вверх», стало «влево-вверх». Получаем \(y=-5x+8\).
- Отражение относительно оси \(x\): точка \((0;8)\) переходит в \((0;-8)\), наклон тоже меняет знак: \(y=-5x-8\).
То есть при симметрии относительно оси \(y\) заменяем \(x\) на \(-x\), а при симметрии относительно оси \(x\) заменяем \(y\) на \(-y\).
Связь с №103а
График \(y=2|x|\) симметричен сам себе относительно оси \(y\): его левая ветвь — точное зеркало правой. Поэтому, например, точкам \((2;4)\) и \((-2;4)\) соответствуют одинаковые значения \(y\): \(|-2|=|2|\).
Если хочешь, покажу это на координатной сетке словами — где именно проходит ось и как ложится отражение.
