Дроби: 5 правил, и всё сходится

Главная идея: дробь — это деление. \(\frac{3}{4}\) значит «3 разделили на 4 части». Дальше все правила вытекают из двух вещей: числитель (сверху) — сколько частей взяли, знаменатель (снизу) — на сколько частей делили.

1. Сокращение — делать до всего остального

Делим верх и низ на одно и то же число: \[ \frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3} \] Ищи общий делитель — 2, 3, 5 — и дели, пока не останется.

2. Сложение и вычитание: только с общим знаменателем

Приводим к общему знаменателю, потом складываем только верх: \[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6} \] \[ \frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12} \] Низ никогда не складываем.

3. Умножение — самое лёгкое: прямо

Верх на верх, низ на низ. Сокращать можно крест-накрест ещё до умножения: \[ \frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}=\frac{2\cdot 9}{3\cdot 10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5} \]

4. Деление: перевернуть вторую и умножить

\[ \frac{3}{5}:\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3} \] Проверка через десятичные: \(0{,}6:0{,}9=\frac{2}{3}\). Сходится.

5. Смешанные числа — сначала в неправильную дробь

\[ 1\frac{1}{2}+2\frac{1}{3}=\frac{3}{2}+\frac{7}{3}=\frac{9}{6}+\frac{14}{6}=\frac{23}{6}=3\frac{5}{6} \]

Мнемоника: сложение — «общий низ», умножение — «прямо», деление — «переверни и умножь».

Мини-тренажёр (реши сам, потом сверь):

1. \(\frac{5}{6}-\frac{1}{4}\) → ответ \(\frac{7}{12}\)
2. \(\frac{4}{7}:\frac{8}{21}\) → ответ \(\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\)

Скажи, какой класс и какие дроби нужны — обыкновенные, десятичные или смешанные; разберу на твоих примерах.