Задание 5. Докажите с помощью таблицы истинности закон поглощения для дизъюнкции: A ∨ (A ∧ B) = A

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Задание 5. Докажите с помощью таблицы истинности закон поглощения для дизъюнкции: A ∨ (A ∧ B) = A

Таблица:
A | B | A ∧ B | A ∨ (A ∧ B)
0 | 0 | ___ | ___
0 | 1 | ___ | ___
1 | 0 | ___ | ___
1 | 1 | ___ | ___

Вывод: Выражение A ∨ (A ∧ B) тождественно равно ______.

Задание 6. Анна, Борис и Виктор — сестра и братья. Однажды кто-то из них съел оставленный на столе торт. На вопрос мамы они дали такие показания:
Анна:
Я не ела торт.
Это сделал Борис.

Борис:
Я не ел торт.
Это сделала Анна.

Виктор:
Я не ел торт.
Это сделал Борис.

Мама знает, что один из её детей всегда говорит правду (правдивый), второй всегда лжёт (лгун), а третий в каждом из своих двух утверждений один раз говорит правду, а один раз — ложь (хитрец). Кто съел торт?

Задание 7. Придумайте своё логическое выражение с двумя переменными (A и B), используя операции И, ИЛИ, НЕ, и постройте для него таблицу истинности.
Выражение: ______

Answer

Краткий ответ

Задание 5. Столбец $A \lor (A \land B)$ полностью совпадает со столбцом $A$, значит выражение тождественно равно $A$.

Задание 6. Торт съела Анна.

Задание 7. Подойдёт, например, выражение $(A \text{ ИЛИ } B) \text{ И НЕ } A$ — таблица ниже.

Задание 5. Закон поглощения

$A$ |
$B$ |
$A \land B$ |
$A \lor (A \land B)$ |

0 |
0 |
0 |
0 |

0 |
1 |
0 |
0 |

1 |
0 |
0 |
1 |

1 |
1 |
1 |
1 |

Как заполнять:

1. $A \land B$ (И) даёт 1 только в последней строке, где обе переменные равны 1.

2. В последнем столбце: если $A=0$, то $A \land B = 0$, и $0 \lor 0 = 0$. Если $A=1$, то дизъюнкция с любым значением даёт 1 (в последней строке — потому что $A \land B = 1$, в третьей — потому что $A=1$).

Вывод: Выражение $A \lor (A \land B)$ тождественно равно $A$. Смысл закона: если $A$ уже истинно, то добавка «и $B$» ничего не меняет — $A$ «поглощает» слагаемое.

Задание 6. Кто съел торт

Обозначим виновника буквой $C$. Переведём показания в условия:

Кто |
1-е утверждение |
2-е утверждение |

Анна |
$C \ne$ Анна |
$C =$ Борис |

Борис |
$C \ne$ Борис |
$C =$ Анна |

Виктор |
$C \ne$ Виктор |
$C =$ Борис |

Роли: правдивый — оба утверждения истинны; лгун — оба ложны; хитрец — ровно одно истинно, одно ложно. Перебираем три варианта:

1) Торт съела Анна.

Анна: «я не ела» — ложь, «это Борис» — ложь → лгун.

Борис: «я не ел» — правда, «это Анна» — правда → правдивый.

Виктор: «я не ел» — правда, «это Борис» — ложь → хитрец.

Все три роли разные — противоречий нет. ✔

2) Торт съел Борис.

Анна: правда, правда → правдивая.

Борис: ложь, ложь → лгун.

Виктор: правда, правда → правдивый.

Получилось два правдивых — невозможно. ✘

3) Торт съел Виктор.

Анна: правда, ложь → хитрец.

Борис: правда, ложь → хитрец.

Два хитреца — невозможно. ✘

Ответ: Анна. (Она лгунья, Борис — правдивый, Виктор — хитрец.)

Задание 7. Своё выражение

Выражение: $(A \text{ ИЛИ } B) \text{ И НЕ } A$

0 |
0 |
0 |
1 |
0 |

0 |
1 |
1 |
1 |
1 |

1 |
0 |
1 |
0 |
0 |

1 |
1 |
1 |
0 |
0 |

Порядок действий: сначала скобки ($A \lor B$), затем НЕ, затем И. Результат истинен только при $A=0, B=1$ — то есть «B истинно, а A нет».

Проверка: подставь любую строку в исходное выражение — например, $A=1, B=0$: $(1 \lor 0) \land \neg 1 = 1 \land 0 = 0$. Совпадает с таблицей.

\(A\)	\(B\)	\(A \land B\)	\(A \lor (A \land B)\)
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	0	1
1	1	1	1

\(A\)	\(B\)	\(A \lor B\)	\(\neg A\)	\((A \lor B) \land \neg A\)
0	0	0	1	0
0	1	1	1	1
1	0	1	0	0
1	1	1	0	0

Кто	1-е утверждение	2-е утверждение
Анна	\(C \ne\) Анна	\(C =\) Борис
Борис	\(C \ne\) Борис	\(C =\) Анна
Виктор	\(C \ne\) Виктор	\(C =\) Борис

Задание 5. Докажите с помощью таблицы истинности закон поглощения для дизъюнкции: A ∨ (A ∧ B) = A

Краткий ответ

Задание 5. Закон поглощения

Задание 6. Кто съел торт

Задание 7. Своё выражение

Обсуждение