помоги понять тему про подобие т как его научится решать, у нас недавно была самостоятельная и я написла на 2, хочу подтянуть на 4
Коротко: подобие — это когда фигуры имеют одинаковую форму, но могут быть разного размера. У подобных треугольников соответственные (сходственные) углы равны, а соответственные стороны пропорциональны:
\[ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k. \]
Число \(k\) называется коэффициентом подобия.
Обидно получить 2, но подобие — как раз алгоритмичная тема: она выправляется тренировкой, а не зубрёжкой.
Главное правило: соответствие вершин
Запись \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) означает, что
\[ A\leftrightarrow A_1,\quad B\leftrightarrow B_1,\quad C\leftrightarrow C_1. \]
Поэтому сторона \(AB\) соответствует \(A_1B_1\), сторона \(BC\) — \(B_1C_1\), а не наоборот. Если перепутать порядок, пропорция будет неверной, хотя числа могут выглядеть «красиво».
Три признака подобия
- По двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны.
- По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, треугольники подобны.
- По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, треугольники подобны.
Важно: во втором признаке угол должен быть именно между этими сторонами. В третьем нужно проверять все три пары сторон, а не две.
Как решать задачу: алгоритм
- Найди на рисунке равные углы. Чаще всего это общий угол, вертикальные углы, накрест лежащие или соответственные углы при параллельных прямых.
- Определи, какая вершина какому соответствует.
- Запиши подобие с правильным порядком вершин и укажи признак.
- Составь пропорцию соответственных сторон.
- Подставь числа и найди неизвестное.
- Проверь: большая сторона должна относиться к большей, меньшая — к меньшей, а коэффициент \(k\) у всех пар должен получаться один и тот же.
Пример
В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AB\) взята точка \(D\), на стороне \(BC\) — точка \(E\), причём \(DE\parallel AC\). Известно \(BD=4\), \(AB=10\), \(DE=6\). Найдите \(AC\).
Так как \(DE\parallel AC\), то
\[ \angle BDE=\angle BAC,\qquad \angle BED=\angle BCA \]
как соответственные углы при параллельных прямых. Значит, \(\triangle BDE\sim\triangle BAC\) по двум углам. Порядок вершин: \(B\leftrightarrow B\), \(D\leftrightarrow A\), \(E\leftrightarrow C\). Поэтому
\[ \frac{BD}{BA}=\frac{DE}{AC}. \]
Подставляем:
\[ \frac{4}{10}=\frac{6}{AC}, \]
откуда \(AC=15\).
Проверка: \(k=\frac{4}{10}=0,4\) и \(\frac{DE}{AC}=\frac{6}{15}=0,4\). Всё сходится.
Что чаще всего путают
- Берут отношение любых сторон, а не соответственных.
- Применяют признак по двум сторонам и углу, когда угол не между ними.
- Забывают, что отношение периметров равно \(k\), а отношение площадей равно \(k^2\). Например, если стороны больше в 3 раза, площадь больше в 9 раз.
- Не пишут, по какому признаку треугольники подобны. На самостоятельной за это теряют баллы.
Как подтянуться к 4
- Выучи три признака не как текст, а как вопрос: «Что я вижу — два угла, две стороны с углом между ними или три стороны?»
- Сначала реши 10 задач только на доказательство подобия, без вычислений. Цель — правильно назвать признак и порядок вершин.
- Потом 10 задач на составление пропорции и 5 задач на периметры и площади.
- В каждой задаче отдельно выписывай соответствие вершин. Это самая частая причина ошибок.
Если пришлёшь свою задачу, разберём по шагам, где именно сбивается соответствие.
Обсуждение
4 сообщенияВот такая задача была на проверочной, думала решила на 4, но нет
В №14 ответ 180, в №15 — 30. Досадно, когда ждёшь четвёрку, а выходит ниже, но обе задачи — как раз на главные ловушки подобия. Разберу по шагам.
№14. Ответ: 180
\(DE\) — средняя линия, значит \(D\) и \(E\) — середины сторон \(BC\) и \(AC\), а \(DE\parallel AB\).
Поэтому треугольник \(CDE\) подобен треугольнику \(CBA\) с коэффициентом
\[ k=\frac{CD}{CB}=\frac{1}{2}. \]
У подобных фигур площади относятся как квадрат коэффициента подобия:
\[ \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}=k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}. \]
Отсюда
\[ S_{ABC}=4\cdot 45=180. \]
Проверка: маленький треугольник составляет ровно четверть большого.
№15. Ответ: 30
Так как \(MN\parallel AC\), то
\[ \angle BMN=\angle BAC,\qquad \angle BNM=\angle BCA \]
как соответственные углы при параллельных прямых. Значит,
\[ \triangle BMN\sim\triangle BAC \]
по двум углам.
Соответствие вершин: \(B\leftrightarrow B\), \(M\leftrightarrow A\), \(N\leftrightarrow C\). Поэтому
\[ \frac{BM}{BA}=\frac{MN}{AC}. \]
Коэффициент подобия:
\[ k=\frac{MN}{AC}=\frac{24}{44}=\frac{6}{11}. \]
Тогда
\[ BM=BA\cdot k=66\cdot \frac{6}{11}=36. \]
Но спрашивают не \(BM\), а \(AM\). Так как \(M\) лежит на \(AB\),
\[ AM=AB-BM=66-36=30. \]
Проверка: \(\frac{BM}{BA}=\frac{36}{66}=\frac{6}{11}=\frac{MN}{AC}\). Всё сходится.
Где обычно теряют баллы
- В №14 пишут \(45\cdot 2=90\). Это путаница: стороны больше в 2 раза, а площадь — в \(2^2=4\) раза.
- В №15 находят \(BM=36\) и записывают это как \(AM\). Или составляют \(\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{AC}\) — это неверно, потому что \(AM\) не соответствует \(MN\). Соответствует именно \(BM\).
Если сохранилось фото твоего решения, пришли — покажу, на каком шаге именно сняли баллы.
Дай задачу на подобие для тренировки
Хорошо, вот тренировка ровно по этим двум типам задач, плюс одна с «ловушкой», из-за которой чаще всего снимают баллы. Сначала реши сам, ответы — в конце.
Задача 1 (как №14, площади)
В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Площадь треугольника \(BMN\) равна \(12\).
- Найдите площадь треугольника \(ABC\).
- Найдите площадь четырёхугольника \(AMNC\).
Подсказка: сначала выясни коэффициент подобия \(\triangle BMN\) и \(\triangle BAC\), потом вспомни, как относятся площади.
Задача 2 (как №15, параллельная прямая)
Прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно. Известно \(AC=30\), \(KL=18\), \(AB=45\).
- Найдите \(KB\).
- Найдите \(AK\).
Подсказка: составь отношение \(\frac{BK}{BA}=\frac{KL}{AC}\). Сторона \(AK\) соответствует не \(KL\), поэтому искать её через пропорцию нельзя — только вычитанием.
Задача 3 (с ловушкой)
Прямая \(MN\) параллельна стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах \(AB\) и \(BC\). Известно \(AM:MB=2:3\), \(AC=25\). Найдите \(MN\).
Подсказка: треугольник \(BMN\) подобен \(BAC\), но в пропорции участвует вся сторона \(AB\), а не только \(AM\). Найди, какую долю от \(AB\) составляет \(BM\).
Проверь себя
Задача 1. \(k=\frac{1}{2}\), \(\frac{S_{BMN}}{S_{ABC}}=\frac{1}{4}\).
- \(S_{ABC}=12\cdot 4=48\).
- \(S_{AMNC}=48-12=36\).
Задача 2. \(k=\frac{KL}{AC}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\).
- \(KB=45\cdot\frac{3}{5}=27\).
- \(AK=45-27=18\).
Задача 3. \(BM=\frac{3}{5}AB\), значит \(k=\frac{3}{5}\) и \(MN=25\cdot\frac{3}{5}=15\). Ошибка-ловушка — взять \(\frac{2}{5}\) и получить \(10\); так делать нельзя, потому что \(AM\) не входит в маленький треугольник.
Пришли своё решение любой из задач — проверю оформление и скажу, где на проверочной могли снять баллы.
