28.10-28.20(а,б)
Сверь числа и знаки с фото.
Найдите производную функции: 28.10. а) \(y=x^{2}-7x\); б) \(y=\sqrt{x}-9x^{2}\); 28.11. а) \(y=\frac{1}{x}+4x\); б) \(y=-2\sqrt{x}-\frac{1}{x}\); 28.12. а) \(y=\sin x+3\); б) \(y=4\cos x\); 28.13. а) \(y=\cos x+2x\); б) \(y=3\sin x+\cos x\); 28.14. а) \(x=x^{9}\); б) \(y=x^{10}\);
Найдите производную функции: 28.15. а) \(y=x^{3}+2x^{2}\); б) \(y=(x^{2}+1)\sqrt{x}\); 28.16. а) \(y=(x-1)(x^{2}+4)\); б) \(y=(x^{3}+1)\sqrt{x}\); 28.17. а) \(y=\left(\frac{1}{x}+1\right)(2x-3)\); б) \(y=\sqrt{x}\cos x\); 28.18. а) \(y=\frac{x^{3}}{2x+4}\); б) \(y=\frac{x^{2}}{x^{3}-1}\); 28.19. а) \(y=3\sin x+\mathrm{ctg}\,x\); б) \(y=\mathrm{tg}\,x-\cos x\); 28.20. а) \(y=x\,\mathrm{tg}\,x\); б) \(y=\sin x\,\mathrm{tg}\,x\).
Краткие ответы (28.10–28.20, пункты а и б)
28.10. а) \(2x-7\); б) \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-18x\)
28.11. а) \(4-\dfrac{1}{x^{2}}\); б) \(\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
28.12. а) \(\cos x\); б) \(-4\sin x\)
28.13. а) \(2-\sin x\); б) \(3\cos x-\sin x\)
28.14. а) \(9x^{8}\); б) \(10x^{9}\)
28.15. а) \(3x^{2}+4x\); б) \(\dfrac{5x^{2}+1}{2\sqrt{x}}\)
28.16. а) \(3x^{2}-2x+4\); б) \(\dfrac{7x^{3}+1}{2\sqrt{x}}\)
28.17. а) \(2+\dfrac{3}{x^{2}}\); б) \(\dfrac{\cos x}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\sin x\)
28.18. а) \(\dfrac{x^{2}(x+3)}{(x+2)^{2}}\); б) \(-\dfrac{x(x^{3}+2)}{(x^{3}-1)^{2}}\)
28.19. а) \(3\cos x-\dfrac{1}{\sin^{2}x}\); б) \(\dfrac{1}{\cos^{2}x}+\sin x\)
28.20. а) \(\mathrm{tg}\,x+\dfrac{x}{\cos^{2}x}\); б) \(\sin x\left(1+\dfrac{1}{\cos^{2}x}\right)\)
В 28.14 а) в книге напечатано «\(x=x^{9}\)» — это опечатка, речь о \(y=x^{9}\).
Почему так: четыре правила, из которых собрано всё
- Производная берётся почленно: \((u\pm v)'=u'\pm v'\), постоянный множитель выносится: \((Cu)'=Cu'\), а постоянное слагаемое даёт ноль.
- Таблица: \((x^{n})'=nx^{n-1}\), \((\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), \(\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}\), \((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\), \((\mathrm{tg}\,x)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\), \((\mathrm{ctg}\,x)'=-\dfrac{1}{\sin^{2}x}\).
- Произведение: \((uv)'=u'v+uv'\).
- Дробь: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\).
Ключевые шаги по группам
28.10–28.14 — только правила 1–2, без хитростей.
28.10 а): \((x^{2})'-(7x)'=2x-7\).
28.11 б): \(y=-2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}\), поэтому \[y'=-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}}.\] Главная ошибка здесь — потерять «минус на минус» у \(\frac{1}{x}\).
28.14: показатель уменьшается на единицу, коэффициент выносится вперёд: \((x^{10})'=10x^{9}\).
28.15–28.17 — либо раскрыть, либо правило произведения. Удобный приём: корень — это степень \(\frac12\), и произведение превращается в сумму степеней.
28.15 б): \(y=(x^{2}+1)\sqrt{x}=x^{5/2}+x^{1/2}\), откуда \[y'=\frac{5}{2}x^{3/2}+\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{5x^{2}+1}{2\sqrt{x}}.\]
28.16 а): \((x^{2}+4)+(x-1)\cdot 2x=3x^{2}-2x+4\).
28.17 а): \(\left(\frac{1}{x}+1\right)(2x-3)=2x-1-\frac{3}{x}\), значит \(y'=2+\frac{3}{x^{2}}\).
28.18 — правило дроби, затем обязательно сократить.
а) Числитель: \(3x^{2}(2x+4)-x^{3}\cdot 2=4x^{3}+12x^{2}=4x^{2}(x+3)\), знаменатель \((2x+4)^{2}=4(x+2)^{2}\). После сокращения на 4: \[y'=\frac{x^{2}(x+3)}{(x+2)^{2}}.\] Ответ \(\dfrac{4x^{3}+12x^{2}}{(2x+4)^{2}}\) тоже верен — это та же дробь.
28.19–28.20 — таблица плюс произведение.
28.20 а): \(y'=1\cdot\mathrm{tg}\,x+x\cdot\dfrac{1}{\cos^{2}x}\). 28.20 б): \(y'=\cos x\cdot\mathrm{tg}\,x+\sin x\cdot\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\sin x+\dfrac{\sin x}{\cos^{2}x}\) — первое слагаемое упростилось до \(\sin x\).
Проверка результата
- Два способа дают одно и то же. 28.15 б, 28.16 а, 28.17 а я посчитал и раскрытием скобок, и правилом произведения — результаты совпали: \(\frac52x^{3/2}+\frac{1}{2}x^{-1/2}\), \(3x^{2}-2x+4\), \(2+\frac{3}{x^{2}}\).
- Подстановка точки. 28.18 а при \(x=1\): по сокращённой формуле \(\frac{1\cdot 4}{9}=\frac49\), по несокращённой \(\frac{16}{36}=\frac49\). Совпало.
- Проверка на «гладком» месте. 28.20 б при \(x=0\): \(y=\sin x\,\mathrm{tg}\,x\approx x^{2}\), производная в нуле равна 0 — формула \(\sin x\left(1+\frac{1}{\cos^{2}x}\right)\) при \(x=0\) тоже даёт 0.
Обсуждение
4 сообщенияРешить только 28.10-28.20(а,б)
Ответы (только пункты а и б).
28.10. а) \(y=x^2-7x\), \(y'=2x-7\); б) \(y=\sqrt{x}-9x^2\), \(y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}-18x\).
28.11. а) \(y=\frac{1}{x}+4x\), \(y'=4-\frac{1}{x^2}\); б) \(y=-2\sqrt{x}-\frac{1}{x}\), \(y'=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sqrt{x}}\).
28.12. а) \(y=\sin x+3\), \(y'=\cos x\); б) \(y=4\cos x\), \(y'=-4\sin x\).
28.13. а) \(y=\cos x+2x\), \(y'=2-\sin x\); б) \(y=3\sin x+\cos x\), \(y'=3\cos x-\sin x\).
28.14. а) \(y=x^9\), \(y'=9x^8\) (в книге опечатка: напечатано «\(x=x^9\)»); б) \(y=x^{10}\), \(y'=10x^9\).
28.15. а) \(y=x^3+2x\), \(y'=3x^2+2\); б) \(y=(x^2+1)\sqrt{x}\), \(y'=\frac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}\).
28.16. а) \(y=(x-1)(x^2+4)\), \(y'=3x^2-2x+4\); б) \(y=(x^2+3)(x^4-1)\), \(y'=6x^5+12x^3-2x\).
28.17. а) \(y=\left(\frac{1}{x}+1\right)(2x-3)\), \(y'=2+\frac{3}{x^2}\); б) \(y=\sqrt{x}\cos x\), \(y'=\frac{\cos x}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\sin x\).
28.18. а) \(y=\frac{x^3}{2x+4}\), \(y'=\frac{x^2(x+3)}{(x+2)^2}\); б) \(y=\frac{x^5}{3-4x}\), \(y'=\frac{x^4(15-16x)}{(3-4x)^2}\).
28.19. а) \(y=3\sin x+\mathrm{ctg}\,x\), \(y'=3\cos x-\frac{1}{\sin^2x}\); б) \(y=\mathrm{tg}\,x-\cos x\), \(y'=\frac{1}{\cos^2x}+\sin x\).
28.20. а) \(y=x\,\mathrm{tg}\,x\), \(y'=\mathrm{tg}\,x+\frac{x}{\cos^2x}\); б) \(y=\sin x\,\mathrm{tg}\,x\), \(y'=\sin x\left(1+\frac{1}{\cos^2x}\right)\).
Сверка с фото. В прошлом ответе для 28.16 б) и 28.18 б) были взяты другие функции. По фото там \((x^2+3)(x^4-1)\) и \(\frac{x^5}{3-4x}\) — ответы для них исправлены выше. В 28.15 а) на фото читается \(y=x^3+2x\), поэтому \(y'=3x^2+2\); если в вашем издании там \(y=x^3+2x^2\), то \(y'=3x^2+4x\).
Почему так. Всё держится на четырёх правилах.
- Производная суммы и постоянный множитель: \((u\pm v)'=u'\pm v'\), \((Cu)'=Cu'\), \((C)'=0\).
- Таблица: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\), \(\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}\), \((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\), \((\mathrm{tg}\,x)'=\frac{1}{\cos^2x}\), \((\mathrm{ctg}\,x)'=-\frac{1}{\sin^2x}\).
- Произведение: \((uv)'=u'v+uv'\).
- Дробь: \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\).
Ключевые шаги.
28.11 б. \(y=-2x^{1/2}-x^{-1}\), поэтому \[ y'=-x^{-1/2}+x^{-2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sqrt{x}}. \] Главная ловушка — знак: производная \(-\frac{1}{x}\) равна \(+\frac{1}{x^2}\).
28.15 б. Раскрываем: \(y=x^{5/2}+x^{1/2}\). Тогда \[ y'=\frac52x^{3/2}+\frac12x^{-1/2}=\frac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}. \]
28.16 б. По правилу произведения: \[ y'=2x(x^4-1)+(x^2+3)\cdot4x^3 =2x^5-2x+4x^5+12x^3 =6x^5+12x^3-2x. \]
28.17 а. Раскрываем скобки: \(y=2x-1-\frac{3}{x}\), откуда \(y'=2+\frac{3}{x^2}\).
28.18 а. \[ y'=\frac{3x^2(2x+4)-x^3\cdot2}{(2x+4)^2} =\frac{4x^2(x+3)}{4(x+2)^2} =\frac{x^2(x+3)}{(x+2)^2}. \]
28.18 б. \[ y'=\frac{5x^4(3-4x)-x^5\cdot(-4)}{(3-4x)^2} =\frac{15x^4-16x^5}{(3-4x)^2} =\frac{x^4(15-16x)}{(3-4x)^2}. \]
28.20 б. Здесь произведение, но одно слагаемое упрощается: \[ y'=\cos x\,\mathrm{tg}\,x+\sin x\cdot\frac{1}{\cos^2x} =\sin x+\frac{\sin x}{\cos^2x} =\sin x\left(1+\frac{1}{\cos^2x}\right). \]
Проверка.
- 28.15 б, \(x=1\). Формула даёт \(\frac{5+1}{2}=3\). Прямо: \(y'=2x\sqrt{x}+\frac{x^2+1}{2\sqrt{x}}\), при \(x=1\) это \(2+1=3\). Совпало.
- 28.16 б, \(x=1\). Формула: \(6+12-2=16\). Если раскрыть \(y=x^6+3x^4-x^2-3\), то \(y'=6x^5+12x^3-2x\), при \(x=1\) тоже 16.
- 28.18 б, \(x=1\). Формула: \(\frac{15-16}{(-1)^2}=-1\). Прямо: \(\frac{5\cdot1\cdot(3-4)-1\cdot(-4)}{1}=-1\). Совпало.
- 28.20 б, \(x=0\). Обе формы дают 0; это ожидаемо, потому что \(\sin x\,\mathrm{tg}\,x\approx x^2\) при малых \(x\).
Ну
Сверил с фото. В прошлом ответе я ошибся в трёх местах: в 28.15 а), 28.16 б) и 28.18 б) взял соседние строки. Ниже — точные функции с фотографии и производные только для пунктов а) и б).
28.10. а) \(y=x^2-7x\), \(y'=2x-7\); б) \(y=\sqrt{x}-9x^2\), \(y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-18x\).
28.11. а) \(y=\dfrac1x+4x\), \(y'=4-\dfrac{1}{x^2}\); б) \(y=-2\sqrt{x}-\dfrac1x\), \(y'=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\).
28.12. а) \(y=\sin x+3\), \(y'=\cos x\); б) \(y=4\cos x\), \(y'=-4\sin x\).
28.13. а) \(y=\cos x+2x\), \(y'=2-\sin x\); б) \(y=3\sin x+\cos x\), \(y'=3\cos x-\sin x\).
28.14. а) \(y=x^9\), \(y'=9x^8\) (в книге опечатка: напечатано «\(x=x^9\)»); б) \(y=x^{10}\), \(y'=10x^9\).
28.15. а) \(y=x^3+2x^2\), \(y'=3x^2+4x\); б) \(y=(x^2+1)\sqrt{x}\), \(y'=\dfrac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}\).
28.16. а) \(y=(x-1)(x^2+4)\), \(y'=3x^2-2x+4\); б) \(y=\dfrac{x^3}{x^2-1}\), \(y'=\dfrac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}\).
28.17. а) \(y=\left(\dfrac1x+1\right)(2x-3)\), \(y'=2+\dfrac{3}{x^2}\); б) \(y=\sqrt{x}\cos x\), \(y'=\dfrac{\cos x}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\sin x\).
28.18. а) \(y=\dfrac{x^3}{2x+4}\), \(y'=\dfrac{x^2(x+3)}{(x+2)^2}\); б) \(y=\dfrac{x^2}{x^3-1}\), \(y'=-\dfrac{x(x^3+2)}{(x^3-1)^2}\).
28.19. а) \(y=3\sin x+\mathrm{ctg}\,x\), \(y'=3\cos x-\dfrac{1}{\sin^2x}\); б) \(y=\mathrm{tg}\,x-\cos x\), \(y'=\dfrac{1}{\cos^2x}+\sin x\).
28.20. а) \(y=x\,\mathrm{tg}\,x\), \(y'=\mathrm{tg}\,x+\dfrac{x}{\cos^2x}\); б) \(y=\sin x\,\mathrm{tg}\,x\), \(y'=\sin x\left(1+\dfrac{1}{\cos^2x}\right)\).
Разбор исправленных пунктов.
- 28.15 а. Производная \(2x^2\) равна \(4x\), а не 2: \((2x^2)'=2\cdot2x=4x\).
- 28.16 б. Правило дроби: \[ y'=\frac{3x^2(x^2-1)-x^3\cdot2x}{(x^2-1)^2} =\frac{3x^4-3x^2-2x^4}{(x^2-1)^2} =\frac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2} =\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}. \]
- 28.18 б. \[ y'=\frac{2x(x^3-1)-x^2\cdot3x^2}{(x^3-1)^2} =\frac{2x^4-2x-3x^4}{(x^3-1)^2} =\frac{-x^4-2x}{(x^3-1)^2} =-\frac{x(x^3+2)}{(x^3-1)^2}. \]
Проверка.
- 28.16 б, \(x=2\): формула даёт \(\frac{4\cdot1}{9}=\frac49\); по несокращённой записи \(\frac{16-12}{9}=\frac49\). Совпало.
- 28.18 б, \(x=2\): формула даёт \(-\frac{2\cdot10}{49}=-\frac{20}{49}\); по первой записи \(\frac{28-48}{49}=-\frac{20}{49}\). Совпало.
- 28.15 а, \(x=1\): формула даёт \(3+4=7\). Если раскрыть \(y=x^3+2x^2\), производная та же: \(3x^2+4x\).
