421 Премиальный фонд в 72 000 р. решено было распределить в конце года между сотрудниками отдела поровну.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
421 Составьте разные уравнения по условию задачи. Решите её. Премиальный фонд в 72 000 р. решено было распределить в конце года между сотрудниками отдела поровну. В течение года 6 человек ушли из отдела, поэтому каждый из сотрудников получил на 1000 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников было в отделе первоначально и сколько стало к концу года?
На фото несколько номеров; ниже — решение №421.
Краткий ответ: первоначально в отделе было 24 сотрудника, к концу года осталось 18.
Решение. Пусть \(x\) — исходное число сотрудников, \(x>6\). Тогда:
- сначала каждому предполагалось выплатить \(\frac{72000}{x}\) р.;
- после ухода 6 человек осталось \(x-6\) сотрудников, и каждому досталось \(\frac{72000}{x-6}\) р.
По условию второе значение на 1000 р. больше:
\[ \frac{72000}{x-6}-\frac{72000}{x}=1000. \]
Разделим обе части на 1000:
\[ \frac{72}{x-6}-\frac{72}{x}=1. \]
Умножим на \(x(x-6)\):
\[ 72x-72(x-6)=x(x-6), \]
\[ 432=x^2-6x, \]
\[ x^2-6x-432=0. \]
\[ D=36+1728=1764=42^2, \]
\[ x_{1,2}=\frac{6\pm42}{2}. \]
Получаем \(x=24\) или \(x=-18\). Число сотрудников не может быть отрицательным, значит, сначала было 24 человека.
После ухода 6 человек осталось:
\[ 24-6=18. \]
Проверка:
\[ \frac{72000}{24}=3000, \]
\[ \frac{72000}{18}=4000, \]
\[ 4000-3000=1000. \]
Всё сходится.
Другое уравнение. Если обозначить через \(y\) число оставшихся сотрудников, то первоначально их было \(y+6\):
\[ \frac{72000}{y}-\frac{72000}{y+6}=1000. \]
После упрощения:
\[ y^2+6y-432=0, \]
откуда \(y=18\), а первоначально было \(18+6=24\).
Ответ: было 24 сотрудника, стало 18.
Обсуждение
5 сообщенийСтоп
Реши задачу 420(б)
Ответ: путь по течению занимает 0,8 ч, то есть 48 минут.
Пусть \(v\) км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Тогда:
- по течению скорость равна \(v+2{,}5\) км/ч;
- против течения — \(v-2{,}5\) км/ч.
Весь путь туда и обратно лодка проходит за 2 ч:
\[ \frac{12}{v+2{,}5}+\frac{12}{v-2{,}5}=2. \]
Разделим обе части на 2:
\[ \frac{6}{v+2{,}5}+\frac{6}{v-2{,}5}=1. \]
Умножим на \((v+2{,}5)(v-2{,}5)\):
\[ 6(v-2{,}5)+6(v+2{,}5)=v^2-6{,}25, \]
\[ 12v=v^2-6{,}25, \]
\[ v^2-12v-6{,}25=0. \]
Корни:
\[ v=12{,}5 \quad \text{или} \quad v=-0{,}5. \]
Скорость положительна, значит, \(v=12{,}5\) км/ч.
Тогда скорость по течению:
\[ 12{,}5+2{,}5=15 \text{ км/ч}. \]
Время по течению:
\[ \frac{12}{15}=0{,}8 \text{ ч}=48 \text{ мин}. \]
Проверка: против течения скорость \(12{,}5-2{,}5=10\) км/ч, время \(\frac{12}{10}=1{,}2\) ч. Всего \(0{,}8+1{,}2=2\) ч.
Распиши понятнее
Ответ: 0,8 ч, то есть 48 минут.
Решим через время — так понятнее.
Пусть \(t\) ч — время движения лодки по течению. Весь путь туда и обратно занял 2 ч, значит, против течения лодка шла:
\[ 2-t \text{ ч}. \]
За 12 км скорости равны:
- по течению: \(\frac{12}{t}\) км/ч;
- против течения: \(\frac{12}{2-t}\) км/ч.
Скорость по течению больше скорости против течения на \(2\cdot 2{,}5=5\) км/ч, потому что течение сначала прибавляет 2,5 км/ч, а потом отнимает 2,5 км/ч.
Получаем уравнение:
\[ \frac{12}{t}-\frac{12}{2-t}=5. \]
Умножим обе части на \(t(2-t)\):
\[ 12(2-t)-12t=5t(2-t). \]
Раскрываем скобки:
\[ 24-12t-12t=10t-5t^2, \]
\[ 24-24t=10t-5t^2. \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ 5t^2-34t+24=0. \]
Находим дискриминант:
\[ D=34^2-4\cdot5\cdot24=1156-480=676=26^2. \]
Корни:
\[ t=\frac{34\pm26}{10}. \]
Получаем:
\[ t=6 \quad \text{или} \quad t=0{,}8. \]
Значение \(6\) ч не подходит: весь путь занял только 2 ч. Значит:
\[ t=0{,}8 \text{ ч}. \]
Переводим в минуты:
\[ 0{,}8\cdot60=48 \text{ мин}. \]
Проверка. По течению лодка идёт 0,8 ч, против течения — \(2-0{,}8=1{,}2\) ч. Скорости:
\[ \frac{12}{0{,}8}=15 \text{ км/ч}, \qquad \frac{12}{1{,}2}=10 \text{ км/ч}. \]
Разница скоростей \(15-10=5\) км/ч, что как раз равно удвоенной скорости течения. Всё верно.
Ответ: по течению лодка плывёт 0,8 ч, или 48 минут.
