Найдите значение выражения √(0,04·a⁸b⁴) при a=2 и b=√5.

Краткий ответ: \(16\).

Как решать:

1. Корень из произведения раскладываем на произведение корней: \[ \sqrt{0{,}04\cdot a^8b^4} =\sqrt{0{,}04}\cdot\sqrt{a^8}\cdot\sqrt{b^4}. \]

2. Извлекаем корни: \[ \sqrt{0{,}04}=0{,}2,\qquad \sqrt{a^8}=a^4,\qquad \sqrt{b^4}=b^2. \] Получаем: \[ 0{,}2\cdot a^4\cdot b^2. \]

3. Подставляем \(a=2\) и \(b=\sqrt5\): \[ 0{,}2\cdot 2^4\cdot(\sqrt5)^2 =0{,}2\cdot16\cdot5 =16. \]

Проверка: под корнем \[ 0{,}04\cdot2^8\cdot(\sqrt5)^4 =0{,}04\cdot256\cdot25 =256, \] а \(\sqrt{256}=16\). Всё сходится.

Главный принцип: корень из произведения можно разбить на произведение корней, а при извлечении корня из степени показатель уменьшается вдвое.