1. Искусственный спутник Земли вращается по круговой орбите на высоте, где радиус орбиты равен 7000 км. 2. Два велосипедиста участвуют в кольцевой гонке
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Искусственный спутник Земли вращается по круговой орбите на высоте, где радиус орбиты равен 7000 км. Период обращения спутника вокруг Земли составляет 5400 с. Найдите его угловую и линейную скорость
Два велосипедиста участвуют в кольцевой гонке, при чём отношение их линейных скоростей \(\frac{v_1}{v_2}=2\). Найдите отношение угловых скоростей \(\frac{\omega_1}{\omega_2}\).
Краткий ответ:
- \(\omega\approx1{,}16\cdot10^{-3}\) рад/с, \(v\approx8{,}1\) км/с.
- \(\frac{\omega_1}{\omega_2}=2\).
1. Спутник
Период \(T\) — время одного полного оборота. За оборот спутник проходит путь \(2\pi R\), поэтому \[ v=\frac{2\pi R}{T},\qquad \omega=\frac{2\pi}{T}. \]
В условии дан именно радиус орбиты \(R=7000\) км \(=7{,}0\cdot10^6\) м, а не высота над Землёй, поэтому радиус Земли прибавлять не нужно.
\[ \omega=\frac{2\pi}{5400}\approx1{,}16\cdot10^{-3}\ \text{рад/с}. \]
\[ v=\frac{2\pi\cdot7{,}0\cdot10^6}{5400}\approx8{,}14\cdot10^3\ \text{м/с}\approx8{,}1\ \text{км/с}. \]
Проверка: \[ v=\omega R\approx1{,}16\cdot10^{-3}\cdot7{,}0\cdot10^6\approx8{,}1\cdot10^3\ \text{м/с}. \]
2. Велосипедисты
На одной кольцевой трассе радиус у обоих одинаков: \(R_1=R_2=R\). Для движения по окружности \[ v=\omega R \quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{v}{R}. \]
Тогда \[ \frac{\omega_1}{\omega_2} =\frac{v_1/R}{v_2/R} =\frac{v_1}{v_2}=2. \]
То есть угловая скорость первого велосипедиста в 2 раза больше. Если бы радиусы трасс были разными, одного отношения \(v_1/v_2\) было бы недостаточно.
Обсуждение
4 сообщенияНаписать с дано и решением
Написать с дано и решением
Задача 1
Дано: \[ R=7000\ \text{км}=7{,}0\cdot10^{6}\ \text{м};\qquad T=5400\ \text{с}. \] Найти: \(\omega\) — ?, \(v\) — ?
Решение.
За один период спутник проходит путь \(2\pi R\), поэтому линейная скорость \[ v=\frac{2\pi R}{T}. \] Угловая скорость \[ \omega=\frac{2\pi}{T}. \]
Считаем угловую скорость: \[ \omega=\frac{2\pi}{5400}\approx1{,}16\cdot10^{-3}\ \text{рад/с}. \]
Считаем линейную скорость: \[ v=\frac{2\pi\cdot7{,}0\cdot10^{6}}{5400}\approx8{,}14\cdot10^{3}\ \text{м/с}\approx8{,}1\ \text{км/с}. \]
Проверка: \[ v=\omega R\approx1{,}16\cdot10^{-3}\cdot7{,}0\cdot10^{6}\approx8{,}1\cdot10^{3}\ \text{м/с}. \]
Ответ: \(\omega\approx1{,}16\cdot10^{-3}\) рад/с; \(v\approx8{,}1\) км/с (около \(8{,}14\cdot10^{3}\) м/с).
Задача 2
Дано: \[ \frac{v_{1}}{v_{2}}=2;\qquad \text{трасса кольцевая, поэтому } R_{1}=R_{2}=R. \] Найти: \(\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}\) — ?
Решение.
Связь линейной и угловой скорости при движении по окружности: \[ v=\omega R \quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{v}{R}. \]
Записываем отношение угловых скоростей: \[ \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} =\frac{v_{1}/R}{v_{2}/R} =\frac{v_{1}}{v_{2}}. \]
При равных радиусах \(R\) сокращается, и остаётся отношение скоростей: \[ \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=2. \]
Ответ: \(\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=2\), то есть угловая скорость первого велосипедиста в 2 раза больше.
Задача 1
Дано: \[ R=7000\ \text{км}=7{,}0\cdot10^6\ \text{м} \] \[ T=5400\ \text{с} \] Найти: \(\omega\) — угловую скорость, \(v\) — линейную скорость.
Решение:
За один полный оборот спутник проходит путь \(2\pi R\), поэтому \[ v=\frac{2\pi R}{T}. \]
Угловая скорость связана с периодом: \[ \omega=\frac{2\pi}{T}. \]
Вычисляем: \[ \omega=\frac{2\cdot3{,}14}{5400}\approx1{,}16\cdot10^{-3}\ \text{рад/с}. \]
\[ v=\omega R\approx1{,}16\cdot10^{-3}\cdot7{,}0\cdot10^6\approx8{,}1\cdot10^3\ \text{м/с}. \]
Переводим в км/с: \[ 8{,}1\cdot10^3\ \text{м/с}=8{,}1\ \text{км/с}. \]
Ответ: \(\omega\approx1{,}16\cdot10^{-3}\ \text{рад/с}\); \(v\approx8{,}1\ \text{км/с}\).
Задача 2
Дано: \[ \frac{v_1}{v_2}=2 \] Гонка кольцевая, значит радиус трассы у обоих велосипедистов одинаков: \[ R_1=R_2=R. \]
Найти: \[ \frac{\omega_1}{\omega_2}. \]
Решение:
Связь линейной и угловой скорости: \[ v=\omega R \quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{v}{R}. \]
Тогда \[ \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{v_1/R}{v_2/R} = \frac{v_1}{v_2}. \]
Подставляем данное отношение: \[ \frac{\omega_1}{\omega_2}=2. \]
Ответ: \(\frac{\omega_1}{\omega_2}=2\), то есть угловая скорость первого велосипедиста в 2 раза больше.
