Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x_1 = 2,\qquad x_2 = 3\]

Как это получается

Способ 1. По теореме Виета. Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\) корни удовлетворяют условиям:

\[x_1 + x_2 = -p = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = q = 6\]

Нужны два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда, даже когда корни «не подбираются»):

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\]

Так как \(D > 0\), корней два:

\[x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\]

\[x_1 = \frac{6}{2} = 3,\qquad x_2 = \frac{4}{2} = 2\]

Проверка

\[2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\]

\[3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\]

Оба корня подходят. Принцип на будущее: Виет удобен при \(a = 1\) и целых корнях, а дискриминант — универсальный путь: знак \(D\) сразу говорит, сколько корней (\(D > 0\) — два, \(D = 0\) — один, \(D < 0\) — нет).