Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Корни уравнения: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Самый удобный здесь способ — разложить квадратный трёхчлен на множители. Нужны два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении — \(6\). Это \(2\) и \(3\), поэтому \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \] Значит уравнение можно записать так: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \] Отсюда: \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Проверка:
- при \(x=2\): \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\);
- при \(x=3\): \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\).
Оба корня подходят.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) — это не новая буква. Это тот же самый неизвестный \(x\), который уже был в уравнении. На втором этапе мы просто записали выражение \(x^2-5x+6\) в виде произведения скобок:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Проверим, что это действительно одно и то же. Раскроем скобки:
\[ (x-2)(x-3)=x(x-3)-2(x-3). \]
Теперь умножаем:
\[ x(x-3)=x^2-3x, \] \[ -2(x-3)=-2x+6. \]
Складываем:
\[ x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
Получилось исходное выражение. Значит, замена верная.
Откуда взялись именно \(2\) и \(3\)? Ищем разложение в виде
\[ (x-a)(x-b). \]
Если раскрыть скобки, получится:
\[ (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab. \]
Нам нужно, чтобы было \(x^2-5x+6\). Поэтому:
\[ a+b=5,\qquad ab=6. \]
Подходят числа \(2\) и \(3\): \(2+3=5\), \(2\cdot3=6\). Значит,
\[ (x-a)(x-b)=(x-2)(x-3). \]
Буква \(x\) остаётся потому, что скобка — это не просто число \(2\), а выражение \(x-2\). Когда \(x=2\), эта скобка равна нулю:
\[ x-2=0. \]
А когда \(x=3\), равна нулю вторая скобка:
\[ x-3=0. \]
Поэтому из
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
получаем:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0, \]
то есть
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
