(tg3x)’ чему равна?

Кратко: \[ \left(\operatorname{tg} 3x\right)'=\frac{3}{\cos^2 3x}. \]

Как получили:

1. Здесь сложная функция: сначала тангенс, внутри него \(3x\).
2. Производная тангенса: \[ (\operatorname{tg} u)'=\frac{1}{\cos^2 u}. \]
3. Умножаем ещё на производную внутренней функции \(u=3x\): \[ u'=3. \]
4. Поэтому: \[ \left(\operatorname{tg} 3x\right)'=\frac{1}{\cos^2 3x}\cdot 3 =\frac{3}{\cos^2 3x}. \]

Область допустимых значений производной: \(\cos 3x\neq 0\), то есть \[ x\neq \frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z. \]

Проверка: если бы было \(\operatorname{tg} x\), ответ был бы \(\frac{1}{\cos^2 x}\); множитель \(3\) появляется именно из-за \(3x\).