реши как ученик в тетради как школьник

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа №2 по геометрии по теме «Векторы»
Вариант 1

1. Начертите два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Постройте векторы, равные: а) $\vec{p}=\frac{1}{2}\vec{a}+3\vec{b}$; б) $\vec{p}=2\vec{b}-\vec{a}$.

2. Дан ромб $ABCD$, $O$ – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{BD}$ через векторы $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ и $\vec{b}=\overrightarrow{AD}$.

3. В прямоугольнике $ABCD$, $AB=7$ см, $AD=8$ см. $K$ – середина стороны $BC$. Найдите длины векторов $\overrightarrow{AK}$ и $\overrightarrow{AC}$.

4. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Answer

Кратко

1. а) $\vec p=\frac12\vec a+3\vec b$: отложить $\frac12\vec a$, затем три раза $\vec b$. б) $\vec p=2\vec b-\vec a$: отложить $2\vec b$, затем $-\vec a$.

2. $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$, $\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)$, $\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a$.

3. $\left|\overrightarrow{AK}\right|=\sqrt{65}$ см, $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{113}$ см.

4. $12$ см.

Решение

1. Построение векторов

Сначала начерти два вектора $\vec a$ и $\vec b$ из одной точки так, чтобы они не лежали на одной прямой.

а) Строим $\vec p=\frac12\vec a+3\vec b$:

откладываем вектор $\frac12\vec a$ — он в 2 раза короче $\vec a$;

из конца этого вектора откладываем $3\vec b$, то есть три раза подряд вектор $\vec b$;

вектор от начальной точки до конца последнего отрезка и есть $\vec p$.

б) Строим $\vec p=2\vec b-\vec a$:

откладываем $2\vec b$;

из его конца откладываем $-\vec a$ — вектор, равный $\vec a$, но противоположного направления;

вектор от начальной точки до конца построения и есть $\vec p$.

2. Ромб

В ромбе противоположные стороны равны и параллельны, поэтому
$$
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b.
$$
Тогда
$$
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b.
$$
Диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит
$$
\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}
=\frac12(\vec a+\vec b).
$$
Далее
$$
\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}
=\vec b-\vec a.
$$

3. Прямоугольник

В прямоугольнике $BC=AD=8$ см. Так как $K$ — середина $BC$, то
$$
BK=4\text{ см}.
$$
Треугольник $ABK$ прямоугольный, поэтому
$$
\left|\overrightarrow{AK}\right|
=\sqrt{AB^2+BK^2}
=\sqrt{7^2+4^2}
=\sqrt{65}\text{ см}.
$$
Диагональ $AC$ находим из прямоугольного треугольника $ABC$:
$$
\left|\overrightarrow{AC}\right|
=\sqrt{AB^2+BC^2}
=\sqrt{7^2+8^2}
=\sqrt{113}\text{ см}.
$$

4. Равнобедренная трапеция

Пусть $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее, $BH$ — высота. Тогда
$$
AH=5\text{ см},\qquad HD=12\text{ см}.
$$
Опустим вторую высоту $CK$. В равнобедренной трапеции
$$
KD=AH=5\text{ см}.
$$
Значит,
$$
HK=HD-KD=12-5=7\text{ см}.
$$
Так как $HBCK$ — прямоугольник, то
$$
BC=HK=7\text{ см}.
$$
Кроме того,
$$
AD=AH+HD=5+12=17\text{ см}.
$$
Средняя линия трапеции:
$$
\frac{AD+BC}{2}=\frac{17+7}{2}=12\text{ см}.
$$

Ответ: $\left|\overrightarrow{AK}\right|=\sqrt{65}$ см, $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{113}$ см; средняя линия трапеции равна $12$ см.

реши как ученик в тетради как школьник

Обсуждение

Контрольная работа №2 по геометрии

Тема: «Векторы». Вариант 1

1. Построение векторов

2. Ромб \(ABCD\)

3. Прямоугольник \(ABCD\)

4. Равнобедренная трапеция