8.3;8.4

Краткий ответ

\[ 8.3.\ \text{а) } x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\mathrm{arctg}\,3+\pi k; \] \[ \text{б) } x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi k. \]

\[ 8.4.\ \text{а) } x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4},\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}; \] \[ \text{б) } x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\mathrm{arctg}\,\frac{1}{2}+\pi k, \qquad k\in\mathbb Z. \]

---

Как решать

8.3 а) \(\mathrm{tg}\,x+3\,\mathrm{ctg}\,x=4\)

ОДЗ: \(\sin x\ne0,\ \cos x\ne0\).

Обозначим \(t=\mathrm{tg}\,x\). Тогда \(\mathrm{ctg}\,x=\frac1t\), причём \(t\ne0\):

\[ t+\frac{3}{t}=4. \]

Умножаем на \(t\):

\[ t^2-4t+3=0, \] \[ (t-1)(t-3)=0. \]

Значит, \(t=1\) или \(t=3\). Возвращаемся к \(x\):

\[ \mathrm{tg}\,x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k; \] \[ \mathrm{tg}\,x=3 \Rightarrow x=\mathrm{arctg}\,3+\pi k. \]

Проверка: при \(t=1\) получаем \(1+3=4\), при \(t=3\) получаем \(3+1=4\). Всё верно.

---

8.3 б) \(\mathrm{tg}^2x-1=0\)

\[ \mathrm{tg}^2x=1 \Rightarrow \mathrm{tg}\,x=\pm1. \]

Поэтому:

\[ x=\frac{\pi}{4}+\pi k \quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k. \]

Кратко это записывают так:

\[ x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi k. \]

---

8.4 а) \(\cos7x+\cos x=0\)

Используем формулу суммы косинусов:

\[ \cos\alpha+\cos\beta= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}. \]

Получаем:

\[ \cos7x+\cos x= 2\cos4x\cos3x=0. \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

1) \(\cos4x=0\):

\[ 4x=\frac{\pi}{2}+\pi k, \] \[ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}. \]

2) \(\cos3x=0\):

\[ 3x=\frac{\pi}{2}+\pi k, \] \[ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}. \]

Обе серии идут в ответ.

---

8.4 б) \(\sin^2x+\sin2x=1\)

Переносим:

\[ \sin2x=1-\sin^2x. \]

Так как \(1-\sin^2x=\cos^2x\), получаем:

\[ \sin2x=\cos^2x. \]

Раскрываем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):

\[ 2\sin x\cos x=\cos^2x. \]

Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель:

\[ 2\sin x\cos x-\cos^2x=0, \] \[ \cos x(2\sin x-\cos x)=0. \]

Важно: здесь нельзя просто делить на \(\cos^2x\), иначе можно потерять решения с \(\cos x=0\).

1) \(\cos x=0\):

\[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \]

2) \(2\sin x-\cos x=0\). Здесь \(\cos x\ne0\), поэтому делим на \(\cos x\):

\[ 2\,\mathrm{tg}\,x-1=0, \] \[ \mathrm{tg}\,x=\frac12, \] \[ x=\mathrm{arctg}\,\frac12+\pi k. \]

Проверка:
если \(\cos x=0\), то \(\sin^2x=1\), а \(\sin2x=0\), сумма равна \(1\);
если \(\mathrm{tg}\,x=\frac12\), то \(\sin^2x=\frac15\), \(\sin2x=\frac45\), сумма тоже равна \(1\).