8. Найдите значение выражения 15⁸/(3⁶·5⁹)

Краткий ответ: \(1{,}8\), то есть \(\frac{9}{5}\). Записанное на фото \(45\) — ошибка.

Как решать

1. Разложим \(15\) на простые множители:

\[ 15=3\cdot5,\qquad 15^8=(3\cdot5)^8=3^8\cdot5^8. \]

2. Подставим это в дробь и сократим степени с одинаковыми основаниями:

\[ \frac{15^8}{3^6\cdot5^9} = \frac{3^8\cdot5^8}{3^6\cdot5^9} = 3^{8-6}\cdot5^{8-9} = 3^2\cdot5^{-1}. \]

3. Отрицательная степень означает обратную величину:

\[ 5^{-1}=\frac15. \]

Поэтому

\[ 3^2\cdot5^{-1}=9\cdot\frac15=\frac95=1{,}8. \]

Частая ошибка здесь — посчитать \(5^{8-9}=5^1\). На самом деле \(8-9=-1\), поэтому не умножаем на \(5\), а делим на \(5\). Именно тогда ошибочно и получается \(9\cdot5=45\).

Проверка

\[ \frac95\cdot3^6\cdot5^9 = 9\cdot3^6\cdot5^8 = 3^2\cdot3^6\cdot5^8 = 3^8\cdot5^8 = (3\cdot5)^8 = 15^8. \]

Всё сходится: правильный ответ — \(1{,}8\).