с 1 по 10

Вот производные для варианта I, задания 1–10:

1. \(\left(3e^x+\sin x\right)'=3e^x+\cos x\)
2. \(\left(3\cos x-\log_4 x\right)'=-3\sin x-\dfrac{1}{x\ln 4}\)
3. \(\left(4x^6\ln x\right)'=4x^5(6\ln x+1)\)
4. \(\left(4\tg 3x\right)'=\dfrac{12}{\cos^2 3x}\)
5. \(\left(4e^{5-2x}\right)'=-8e^{5-2x}\)
6. \(\left(5\cdot 3^{2x+1}\right)'=10\cdot 3^{2x+1}\ln 3\)
7. \(\left(5\ln(2-3x)\right)'=-\dfrac{15}{2-3x}\)
8. \(\left(5\log_7(12x+5)\right)'=\dfrac{60}{(12x+5)\ln 7}\)
9. \(\left(4\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\right)'=-4\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\)
10. \(\left(4\cos(-6x+7)\right)'=24\sin(7-6x)\)

Как это получается

• Сумма: производная каждого слагаемого отдельно.
• Произведение: \((uv)'=u'v+uv'\). Так в №3: \((x^6)'=6x^5\), поэтому \(4(6x^5\ln x+x^5)=4x^5(6\ln x+1)\).
• Сложная функция: \((f(ax+b))'=a f'(ax+b)\). Поэтому в №5 появляется множитель \(-2\), в №4 — множитель \(3\), а в №10 — множитель \(-6\).
• Логарифмы: \[ (\ln x)'=\frac1x,\qquad (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}. \] Для \(\ln(2-3x)\) ещё умножаем на производную внутренней функции \(-3\).

В №10 удобнее записать \(\sin(-6x+7)=-\sin(6x-7)\), тогда ответ можно дать и в виде \(-24\sin(6x-7)\). Оба варианта равносильны.