Реши 192 номер

Краткий ответ

а) \(3\); б) \(0{,}2\); в) \(0{,}064\); г) \(\frac{125}{64}=1{,}953125\); д) \(10\); е) \(-4\); ж) \(3\); з) \(35\).

Как рассуждать

Для положительного основания работают свойства степеней:

\[ a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m},\qquad a^{-r}=\frac{1}{a^r},\qquad (a^p)^q=a^{pq}. \]

Поэтому дробный показатель — это корень, а отрицательный показатель «переворачивает» число.

Решение по пунктам

а) \[ 27^{1/3}=(3^3)^{1/3}=3. \]

б) \[ 25^{-1/2}=(5^2)^{-1/2}=5^{-1}=\frac15=0{,}2. \]

в) \[ 0{,}16^{3/2}=(0{,}4^2)^{3/2}=0{,}4^3=0{,}064. \]

г) \[ 0{,}64^{-1{,}5}=0{,}64^{-3/2}=(0{,}8^2)^{-3/2}=0{,}8^{-3} =\left(\frac54\right)^3=\frac{125}{64}. \]

д) \[ 5\cdot 32^{1/5}=5\cdot (2^5)^{1/5}=5\cdot2=10. \]

е) \[ -64^{1/3}=-(4^3)^{1/3}=-4. \] Даже если понимать как \((-64)^{1/3}\), действительный кубический корень тоже равен \(-4\).

ж) \[ 6\cdot 8^{-1/3}=6\cdot(2^3)^{-1/3}=6\cdot2^{-1}=3. \]

з) \[ 7\cdot0{,}04^{-1/2}=7\cdot(0{,}2^2)^{-1/2}=7\cdot0{,}2^{-1}=7\cdot5=35. \]

Проверка: например, \(0{,}4^3=0{,}064\), \(5\cdot2=10\), а \(0{,}2\cdot5=1\). Значения сходятся.