Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[ x_1=2,\quad x_2=3 \]
Как решать
Способ 1. Через дискриминант.
Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\). Формула дискриминанта: \[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \] Так как \(D>0\), корней два: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \] \[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]
Способ 2. По теореме Виета (быстрее, если \(a=1\)).
Сумма корней равна \(-b\), а произведение равно \(c\): \[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6 \] Подходят числа \(2\) и \(3\): \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\).
Способ 3. Разложить на множители. \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x=2\) или \(x=3\).
Проверка
Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) — верно. Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) — верно.
Принцип: квадратное уравнение сводится к поиску двух чисел, которые в сумме дают \(-b\) и в произведении \(c\) (при \(a=1\)), либо решается через дискриминант — этот способ работает всегда.
Обсуждение
2 сообщенияА как решить x² + 2x − 8 = 0?
Краткий ответ
\[ x_1=-4,\quad x_2=2 \]
Как решать
Здесь \(a=1,\ b=2,\ c=-8\) — то же самое уравнение, что и в прошлый раз, только другие коэффициенты.
Способ 1. Через дискриминант. \[ D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36 \] Обрати внимание: \(c\) отрицательное, поэтому \(-4ac\) даёт плюс. \(D>0\), значит корней два: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2\pm 6}{2} \] \[ x_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{-2+6}{2}=2 \]
Способ 2. По теореме Виета. \[ x_1+x_2=-2,\qquad x_1\cdot x_2=-8 \] Нужны два числа с суммой \(-2\) и произведением \(-8\). Это \(-4\) и \(2\): \(-4+2=-2\), \(-4\cdot 2=-8\).
Способ 3. Разложить на множители. \[ x^2+2x-8=(x+4)(x-2)=0 \] Отсюда \(x=-4\) или \(x=2\).
Проверка
При \(x=-4\): \(16-8-8=0\) — верно. При \(x=2\): \(4+4-8=0\) — верно.
Что важно запомнить: при отрицательном \(c\) свободный член входит в дискриминант со знаком «плюс» — именно тут чаще всего теряют корни. А по Виету удобно проверять: сумма корней должна равняться \(-b\), то есть \(-2\).
