Задания 28.10-28.20(а,б)
Сверь числа и знаки с фото.
Найдите производную функции: 28.15. а) \(y=x^3+2x\); б) \(y=(x^2+1)\sqrt{x}\); 28.16. а) \(y=(x^2-1)(x^4+2)\); б) \(y=(x^3-1)(x^2+2)\); 28.17. а) \(y=\left(\frac{1}{x}+1\right)(2x-3)\); б) \(y=\sqrt{x}\cos x\); 28.18. а) \(y=\frac{x^3}{2x+4}\); б) \(y=\frac{x^2}{x^3+1}\); 28.19. а) \(y=3\sin x+\operatorname{ctg}x\); б) \(y=\operatorname{tg}x-\cos x\); 28.20. а) \(y=x\operatorname{tg}x\); б) \(y=\sin x\operatorname{tg}x\).
Найдите производную функции: 28.10. а) \(y=x^2-7x\); б) \(y=\sqrt{x}-9x^2\); 28.11. а) \(y=\frac{1}{x}+4x\); б) \(y=-2\sqrt{x}-\frac{1}{x}\); 28.12. а) \(y=\sin x+3\); б) \(y=4\cos x\); 28.13. а) \(y=\cos x+2x\); б) \(y=3\sin x+\cos x\); 28.14. а) \(y=x^9\); б) \(y=x^{10}\).
Ниже — производные только для пунктов а и б. Во всех формулах записано \(y'\).
| № | а) | б) |
|---|---|---|
| 28.10 | \(2x-7\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}-18x\) |
| 28.11 | \(-\frac{1}{x^2}+4\) | \(-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}\) |
| 28.12 | \(\cos x\) | \(-4\sin x\) |
| 28.13 | \(-\sin x+2\) | \(3\cos x-\sin x\) |
| 28.14 | \(9x^8\) | \(10x^9\) |
| 28.15 | \(3x^2+2\) | \(\frac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}\) |
| 28.16 | \(6x^5-4x^3+4x\) | \(5x^4+6x^2-2x\) |
| 28.17 | \(2+\frac{3}{x^2}\) | \(\frac{\cos x}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\sin x\) |
| 28.18 | \(\frac{x^2(x+3)}{(x+2)^2}\) | \(\frac{x(2-x^3)}{(x^3+1)^2}\) |
| 28.19 | \(3\cos x-\frac{1}{\sin^2 x}\) | \(\frac{1}{\cos^2 x}+\sin x\) |
| 28.20 | \(\operatorname{tg}x+\frac{x}{\cos^2 x}\) | \(\sin x+\frac{\sin x}{\cos^2 x}\) |
Везде \(x\) берётся из области определения исходной функции: у корней \(x>0\), у дробей знаменатель не равен нулю, у \(\operatorname{tg}x\) — \(\cos x\ne0\), у \(\operatorname{ctg}x\) — \(\sin x\ne0\).
Как получать такие ответы
Основная формула: \[ (x^n)'=nx^{n-1}. \] Поэтому \[ (\sqrt{x})'=\left(x^{1/2}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \left(\frac1x\right)'=(x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}. \]
Сумма и разность differentiation почленно: \[ (u\pm v)'=u'\pm v'. \]
Произведение: \[ (uv)'=u'v+uv'. \]
Частное: \[ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]
Тригонометрические производные: \[ (\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x, \] \[ (\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2 x},\quad (\operatorname{ctg}x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}. \]
Примеры
28.15(б). \(y=(x^2+1)\sqrt{x}\).
Это произведение:
\[
y'=2x\sqrt{x}+(x^2+1)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}
=\frac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}.
\]
28.18(б). \(y=\frac{x^2}{x^3+1}\).
По правилу частного:
\[
y'=\frac{2x(x^3+1)-x^2\cdot 3x^2}{(x^3+1)^2}
=\frac{2x-x^4}{(x^3+1)^2}.
\]
28.20(б). \(y=\sin x\operatorname{tg}x\).
Снова произведение:
\[
y'=\cos x\operatorname{tg}x+\sin x\cdot\frac{1}{\cos^2 x}
=\sin x+\frac{\sin x}{\cos^2 x}.
\]
Проверил 28.16(а) раскрытием скобок: \[ (x^2-1)(x^4+2)=x^6-x^4+2x^2-2, \] производная равна \[ 6x^5-4x^3+4x, \] то есть совпадает с таблицей.
Обсуждение
5 сообщенийНу
Я готов помочь, но в сообщении нет самих условий: неизвестны предмет, автор учебника и что именно требуется в пунктах 28.10–28.20.
Пришли, пожалуйста, фото страницы или текст заданий (хотя бы 28.10 — начнём с него), и укажи автора учебника.
Задания 28.10-28.20(а,б)
Ну
Теперь условия видны. Вот производные для всех пунктов а) и б) с 28.10 по 28.20.
Сначала три правила, на которых держится почти всё:
\[ (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad \left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2} \]
\[ (\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (tg x)'=\frac{1}{\cos^2 x},\qquad (ctg x)'=-\frac{1}{\sin^2 x} \]
Для произведений и дробей:
\[ (uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]
28.10 а) \(y=x^2-7x\): \(\;y'=2x-7\). б) \(y=\sqrt{x}-9x^2\): \(\;y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-18x\).
28.11 а) \(y=\dfrac{1}{x}+4x\): \(\;y'=-\dfrac{1}{x^2}+4\). б) \(y=-2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}\): \(\;y'=-\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^2}\).
28.12 а) \(y=\sin x+3\): \(\;y'=\cos x\). б) \(y=4\cos x\): \(\;y'=-4\sin x\).
28.13 а) \(y=\cos x+2x\): \(\;y'=-\sin x+2\). б) \(y=3\sin x+\cos x\): \(\;y'=3\cos x-\sin x\).
28.14 а) \(y=x^9\): \(\;y'=9x^8\). б) \(y=x^{10}\): \(\;y'=10x^9\).
28.15 а) \(y=x^3+2x\): \(\;y'=3x^2+2\). б) \(y=(x^2+1)\sqrt{x}\). Удобно переписать: \((x^2+1)\sqrt{x}=x^{5/2}+x^{1/2}\), поэтому \[ y'=\frac{5}{2}x^{3/2}+\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}. \]
28.16 а) \(y=(x^2-1)(x^2+4)\). Раскроем: \(x^4+3x^2-4\), значит \[ y'=4x^3+6x. \] б) \(y=(x^2-1)\sqrt{x}\): \(\;y'=\dfrac{5x^2-1}{2\sqrt{x}}\).
28.17 а) \(y=\left(\dfrac{1}{x}+1\right)(2x-3)\). По правилу произведения: \[ y'=-\frac{1}{x^2}(2x-3)+\left(\frac{1}{x}+1\right)\cdot 2=2+\frac{3}{x^2}. \] б) \(y=\sqrt{x}\cos x\): \[ y'=\frac{\cos x}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\sin x. \]
28.18 а) \(y=\dfrac{x^3}{2x+4}\). По правилу частного: \[ y'=\frac{3x^2(2x+4)-x^3\cdot 2}{(2x+4)^2} =\frac{x^2(x+3)}{(x+2)^2}. \] б) \(y=\dfrac{x^3}{x^2-1}\): \[ y'=\frac{3x^2(x^2-1)-x^3\cdot 2x}{(x^2-1)^2} =\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}. \]
28.19 а) \(y=3\sin x+ctg x\): \(\;y'=3\cos x-\dfrac{1}{\sin^2 x}\). б) \(y=tg x-\cos x\): \(\;y'=\dfrac{1}{\cos^2 x}+\sin x\).
28.20 а) \(y=x\,tg x\): \(\;y'=tg x+\dfrac{x}{\cos^2 x}\). б) \(y=\sin x\,tg x\): \[ y'=\cos x\,tg x+\frac{\sin x}{\cos^2 x} =\sin x+\frac{\sin x}{\cos^2 x}. \]
Небольшое уточнение: в 28.16 б) на фото знак под корнем читается не совсем чётко, я взял \(x^2-1\). Если у тебя там \((x^2+1)\sqrt{x}\), то ответ будет \(\dfrac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}\) — скажи, и я поправлю.
