Номер 414
Сверь числа и знаки с фото.
- Сравните значения выражений: а) \(3\sqrt{3}\) и \(\sqrt{12}\); б) \(\sqrt{20}\) и \(3\sqrt{5}\); в) \(5\sqrt{4}\) и \(4\sqrt{5}\); г) \(2\sqrt{5}\) и \(3\sqrt{2}\); д) \(-\sqrt{14}\) и \(-3\sqrt{2}\); е) \(-7\sqrt{0,17}\) и \(-11\sqrt{0,05}\).
Краткий ответ
\[ \begin{aligned} 3\sqrt{3}&>\sqrt{12}, & \sqrt{20}&<3\sqrt{5},\\ 5\sqrt{4}&>4\sqrt{5}, & 2\sqrt{5}&>3\sqrt{2},\\ -\sqrt{14}&>-3\sqrt{2}, & -7\sqrt{0{,}17}&<-11\sqrt{0{,}05}. \end{aligned} \]
Как рассуждать
Положительный множитель перед корнем можно внести под корень:
\[ k\sqrt{a}=\sqrt{k^{2}a}\quad (k>0). \]
После этого сравниваем подкоренные выражения.
| Пункт | Приводим к удобному виду | Вывод |
|---|---|---|
| а) | \(3\sqrt{3}=\sqrt{27}\), а \(\sqrt{12}\) | \(27>12\), значит \(3\sqrt{3}>\sqrt{12}\) |
| б) | \(\sqrt{20}\) и \(3\sqrt{5}=\sqrt{45}\) | \(20<45\), значит \(\sqrt{20}<3\sqrt{5}\) |
| в) | \(5\sqrt{4}=\sqrt{100}\), \(4\sqrt{5}=\sqrt{80}\) | \(100>80\), значит \(5\sqrt{4}>4\sqrt{5}\) |
| г) | \(2\sqrt{5}=\sqrt{20}\), \(3\sqrt{2}=\sqrt{18}\) | \(20>18\), значит \(2\sqrt{5}>3\sqrt{2}\) |
Для отрицательных чисел удобно сравнивать их модули, а затем менять знак неравенства на противоположный.
д) \(-\sqrt{14}\) и \(-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}\).
Так как \(14<18\), то \(\sqrt{14}<\sqrt{18}\). После умножения на \(-1\): \[ -\sqrt{14}>-\sqrt{18}. \]е)
\[ -7\sqrt{0{,}17}=-\sqrt{49\cdot0{,}17}=-\sqrt{8{,}33}, \] \[ -11\sqrt{0{,}05}=-\sqrt{121\cdot0{,}05}=-\sqrt{6{,}05}. \] Поскольку \(8{,}33>6{,}05\), то \[ -\sqrt{8{,}33}<-\sqrt{6{,}05}. \]
Проверка приближённо
\[ 5{,}20>3{,}46,\quad 4{,}47<6{,}71,\quad 10>8{,}94, \] \[ 4{,}47>4{,}24,\quad -3{,}74>-4{,}24,\quad -2{,}89<-2{,}46. \]
Все знаки совпадают с полученным ответом.
