Тренажер 15

Не вижу изображения с заданием — прикрепи его ещё раз, и я решу.

Изображение разобрал: тренажёр по простейшим тригонометрическим неравенствам, 14 номеров. Решаю все, везде \(n\in\mathbb{Z}\).

Общий принцип

• \(\sin t>a:\ t\in(\arcsin a+2\pi n;\ \pi-\arcsin a+2\pi n)\); \(\sin t<a:\ t\in(-\pi-\arcsin a+2\pi n;\ \arcsin a+2\pi n)\).
• \(\cos t>a:\ t\in(-\arccos a+2\pi n;\ \arccos a+2\pi n)\); \(\cos t<a:\ t\in(\arccos a+2\pi n;\ 2\pi-\arccos a+2\pi n)\).
• \(\operatorname{tg}t>a:\ t\in(\operatorname{arctg}a+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n)\); \(\operatorname{ctg}t<a:\ t\in(\operatorname{arcctg}a+\pi n;\ \pi+\pi n)\); \(\operatorname{ctg}t>a:\ t\in(\pi n;\ \operatorname{arcctg}a+\pi n)\).

Дальше — ответы с коротким пояснением.

Решения

1. \(\cos t>1\). Так как \(\cos t\le 1\) всегда, решений нет: \[ t\in\varnothing. \]

2. \(\sin t\ge\frac12\) — дуга выше уровня \(y=\frac12\): \[ t\in\Big[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n\Big]. \]

3. \(\operatorname{ctg}t\le-\sqrt3\). Котангенс убывает на каждом периоде, \(\operatorname{ctg}\frac{5\pi}{6}=-\sqrt3\), а в точках \(\pi n\) не существует (поэтому правый конец выколот): \[ t\in\Big[\frac{5\pi}{6}+\pi n;\ \pi+\pi n\Big). \]

4. \(\sin t<0{,}4\). Обозначим \(\alpha=\arcsin 0{,}4\approx0{,}41\): \[ t\in(-\pi-\alpha+2\pi n;\ \alpha+2\pi n). \]

5. \(\cos t>-\frac14\). Здесь \(\arccos\left(-\frac14\right)=\pi-\arccos\frac14\), поэтому \[ t\in\Big(-\pi+\arccos\frac14+2\pi n;\ \pi-\arccos\frac14+2\pi n\Big). \]

6. \(\cos(-t)\le-1\). \(\cos(-t)=\cos t\), а \(\cos t\ge-1\), значит возможно только равенство \(\cos t=-1\): \[ t=\pi+2\pi n. \]

7. \(2\sin(-2t)<\sqrt3 \iff \sin(-2t)<\frac{\sqrt3}{2} \iff \sin 2t>-\frac{\sqrt3}{2}\): \[ 2t\in\Big(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n\Big)\ \Rightarrow\ t\in\Big(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\ \frac{2\pi}{3}+\pi n\Big). \]

8. \(\cos 3t>\frac13\): \[ 3t\in\Big(-\arccos\frac13+2\pi n;\ \arccos\frac13+2\pi n\Big)\ \Rightarrow\ t\in\Big(-\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3};\ \frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3}\Big). \]

9. \(\sqrt3\operatorname{tg}\left(3t-\frac{\pi}{4}\right)<1 \iff \operatorname{tg}\left(3t-\frac{\pi}{4}\right)<\frac{1}{\sqrt3}\): \[ 3t-\frac{\pi}{4}\in\Big(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \frac{\pi}{6}+\pi n\Big)\ \Rightarrow\ t\in\Big(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3};\ \frac{5\pi}{36}+\frac{\pi n}{3}\Big). \]

10. \(2\cos 5t<\sqrt2 \iff \cos 5t<\frac{\sqrt2}{2}\): \[ 5t\in\Big(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\ \frac{7\pi}{4}+2\pi n\Big)\ \Rightarrow\ t\in\Big(\frac{\pi}{20}+\frac{2\pi n}{5};\ \frac{7\pi}{20}+\frac{2\pi n}{5}\Big). \]

11. \(-\frac{\sqrt3}{2}\le\cos t<-\frac12\) — две дуги (во II и III четверти); там, где неравенство строгое, концы выколоты: \[ t\in\Big(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n\Big]\cup\Big[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n\Big). \]

12. \(|\cos t|\ge\frac{\sqrt2}{2} \iff \cos t\ge\frac{\sqrt2}{2}\) или \(\cos t\le-\frac{\sqrt2}{2}\). Это точки, удалённые от \(\pi n\) не более чем на \(\frac{\pi}{4}\): \[ t\in\Big[\pi n-\frac{\pi}{4};\ \pi n+\frac{\pi}{4}\Big]. \]

13. \(|\operatorname{tg}t|>2 \iff \operatorname{tg}t>2\) или \(\operatorname{tg}t<-2\). Пусть \(\alpha=\operatorname{arctg}2\approx1{,}11\): \[ t\in\Big(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ -\alpha+\pi n\Big)\cup\Big(\alpha+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\Big). \]

14. \(3\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right)\le1 \iff \sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right)\le\frac13\). Пусть \(\alpha=\arcsin\frac13\approx0{,}34\): \[ 2t-\frac{\pi}{4}\in[-\pi-\alpha+2\pi n;\ \alpha+2\pi n]\ \Rightarrow\ t\in\Big[-\frac{3\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}+\pi n;\ \frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}+\pi n\Big]. \]

Проверка

Подставим контрольные точки: в №7 при \(t=0\) получаем \(0<\sqrt3\) — верно, и \(0\) лежит в \((-\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3})\); в №11 при \(t=\frac{2\pi}{3}\) имеем \(\cos t=-\frac12\), но конец выколот — верно, так как неравенство строгое; в №12 при \(t=0\): \(|\cos 0|=1\ge\frac{\sqrt2}{2}\), и \(0\in[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]\) — согласуется.

Если нужно, могу подробнее разобрать любой номер по единичной окружности.

Похоже, у тебя не отображаются формулы — переписываю ответы обычным текстом, без LaTeX. Все \(k\) (в записи ниже — просто k) целые.

Тренажёр 15. Простейшие тригонометрические неравенства

1. cos t > 1 — решений нет.

2. sin t ≥ 1/2 — t ∈ [π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk].

3. ctg t ≤ −√3 — t ∈ [5π/6 + πk; π + πk).

4. sin t < 0,4 — t ∈ (−π − arcsin 0,4 + 2πk; arcsin 0,4 + 2πk), arcsin 0,4 ≈ 0,41.

5. cos t > −1/4 — t ∈ (−π + arccos(1/4) + 2πk; π − arccos(1/4) + 2πk), arccos(1/4) ≈ 1,32.

6. cos(−t) ≤ −1 — только равенство: t = π + 2πk.

7. 2 sin(−2t) < √3 — t ∈ (−π/6 + πk; 2π/3 + πk).

8. cos 3t > 1/3 — t ∈ (−(1/3)·arccos(1/3) + 2πk/3; (1/3)·arccos(1/3) + 2πk/3).

9. √3·tg(3t − π/4) < 1 — t ∈ (−π/12 + πk/3; 5π/36 + πk/3).

10. 2 cos 5t < √2 — t ∈ (π/20 + 2πk/5; 7π/20 + 2πk/5).

11. −√3/2 ≤ cos t < −1/2 — t ∈ (2π/3 + 2πk; 5π/6 + 2πk] ∪ [7π/6 + 2πk; 4π/3 + 2πk).

12. |cos t| ≥ √2/2 — t ∈ [−π/4 + πk; π/4 + πk].

13. |tg t| > 2 — t ∈ (−π/2 + πk; −arctg 2 + πk) ∪ (arctg 2 + πk; π/2 + πk), arctg 2 ≈ 1,11.

14. 3 sin(2t − π/4) ≤ 1 — t ∈ [−3π/8 − (1/2)·arcsin(1/3) + πk; π/8 + (1/2)·arcsin(1/3) + πk), arcsin(1/3) ≈ 0,34.

Если так читается — скажи, разберу любой номер по шагам (например, №7 или №11, где чаще всего путаются с концами промежутков). Если же не открывается сам файл с заданием, напиши: решу по тексту, который пришлёшь.

Вот полное решение каждого номера — с шагами, обычным текстом (без формул-картинок). Везде k ∈ ℤ.

1) cos t > 1 Косинус не бывает больше 1. Решений нет.

2) sin t ≥ 1/2 На окружности sin t = 1/2 в точках π/6 и 5π/6. Неравенство «≥» — дуга сверху между ними (концы включаем). Ответ: t ∈ [π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk].

3) ctg t ≤ −√3 ctg(5π/6) = cos(5π/6)/sin(5π/6) = (−√3/2)/(1/2) = −√3. Котангенс убывает, значит нужен участок от 5π/6 до π. В точке π котангенс не существует — правый конец выколот. Ответ: t ∈ [5π/6 + πk; π + πk).

4) sin t < 0,4 Пусть α = arcsin 0,4 ≈ 0,41. Точки sin t = α: α и π − α. Неравенство «<» — нижняя дуга: от (−π − α) до α. Ответ: t ∈ (−π − arcsin 0,4 + 2πk; arcsin 0,4 + 2πk).

5) cos t > −1/4 arccos(−1/4) = π − arccos(1/4). Неравенство «>» — дуга около нуля: t ∈ (−(π − arccos(1/4)) + 2πk; π − arccos(1/4) + 2πk). Раскрываем: t ∈ (−π + arccos(1/4) + 2πk; π − arccos(1/4) + 2πk), arccos(1/4) ≈ 1,32.

6) cos(−t) ≤ −1 cos(−t) = cos t, значит cos t ≤ −1. Но cos t ≥ −1 всегда, поэтому остаётся только равенство cos t = −1. Ответ: t = π + 2πk.

7) 2 sin(−2t) < √3 Делим на 2: sin(−2t) < √3/2. Так как sin(−2t) = −sin 2t, меняем знак и поворачиваем неравенство: sin 2t > −√3/2. Точки sin = −√3/2: −π/3 и 4π/3. Значит 2t ∈ (−π/3 + 2πk; 4π/3 + 2πk). Делим на 2: t ∈ (−π/6 + πk; 2π/3 + πk).

8) cos 3t > 1/3 Пусть γ = arccos(1/3) ≈ 1,23. Тогда 3t ∈ (−γ + 2πk; γ + 2πk). Делим на 3: t ∈ (−γ/3 + 2πk/3; γ/3 + 2πk/3), то есть t ∈ (−(1/3)·arccos(1/3) + 2πk/3; (1/3)·arccos(1/3) + 2πk/3).

9) √3·tg(3t − π/4) < 1 Делим на √3: tg(3t − π/4) < 1/√3. Тангенс меньше 1/√3 на промежутке (−π/2; π/6) с периодом π. Значит −π/2 + πk < 3t − π/4 < π/6 + πk. Прибавляем π/4: −π/4 + πk < 3t < 5π/12 + πk. Делим на 3: t ∈ (−π/12 + πk/3; 5π/36 + πk/3).

10) 2 cos 5t < √2 cos 5t < √2/2. Косинус меньше √2/2 на дуге (π/4; 7π/4) с периодом 2π: π/4 + 2πk < 5t < 7π/4 + 2πk. Делим на 5: t ∈ (π/20 + 2πk/5; 7π/20 + 2πk/5).

11) −√3/2 ≤ cos t < −1/2 cos t = −1/2 в точках 2π/3 и 4π/3 (здесь строгое неравенство — концы выколоты). cos t = −√3/2 в точках 5π/6 и 7π/6 (здесь «≤» — концы включаем). Получаем две дуги: t ∈ (2π/3 + 2πk; 5π/6 + 2πk] ∪ [7π/6 + 2πk; 4π/3 + 2πk).

12) |cos t| ≥ √2/2 Раскрываем модуль: cos t ≥ √2/2 или cos t ≤ −√2/2. Первое: t ∈ [−π/4 + 2πk; π/4 + 2πk]. Второе: t ∈ [3π/4 + 2πk; 5π/4 + 2πk]. Это точки, удалённые от πk не больше чем на π/4, поэтому короче: t ∈ [−π/4 + πk; π/4 + πk].

13) |tg t| > 2 Раскрываем: tg t > 2 или tg t < −2. Пусть α = arctg 2 ≈ 1,11. Первое: t ∈ (α + πk; π/2 + πk). Второе: t ∈ (−π/2 + πk; −α + πk). Ответ: t ∈ (−π/2 + πk; −arctg 2 + πk) ∪ (arctg 2 + πk; π/2 + πk).

14) 3 sin(2t − π/4) ≤ 1 sin(2t − π/4) ≤ 1/3. Пусть α = arcsin(1/3) ≈ 0,34. Тогда −π − α + 2πk ≤ 2t − π/4 ≤ α + 2πk. Прибавляем π/4: −3π/4 − α + 2πk ≤ 2t ≤ π/4 + α + 2πk. Делим на 2: t ∈ [−3π/8 − (1/2)·arcsin(1/3) + πk; π/8 + (1/2)·arcsin(1/3) + πk].

Как проверять себя: подставь любую точку из промежутка — неравенство должно выполняться; подставь точку вне промежутка — должно нарушаться. Например, в №7 при t = 0: 2·sin 0 = 0 < √3 — верно, и 0 лежит в (−π/6; 2π/3). А в №11 при t = π: cos π = −1 < −1/2? Да, но нам нужно ≥ −√3/2 ≈ −0,87, а −1 меньше, значит π не входит — так и есть, промежутков около π нет.

Если какой-то шаг непонятен, скажи номер — распишу его по единичной окружности подробнее.