реши номер 15.9
Сверь числа и знаки с фото.
15.9. Решите уравнение \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16\).
Ответ: \(x=3\).
Как рассуждать:
ОДЗ: \(x\ge -1\). При этом \(2x+3>0\).
Замечаем, что \[ (2x+3)(x+1)=2x^2+5x+3. \] Введём \[ t=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\ge 0. \]
Тогда \[ t^2=(2x+3)+(x+1)+2\sqrt{(2x+3)(x+1)} \] \[ =3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}. \] Значит, \[ 3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}=t^2-4. \]
Исходное уравнение превращается в \[ t=t^2-4-16=t^2-20, \] то есть \[ t^2-t-20=0. \] Корни: \(t=5\) и \(t=-4\). Так как \(t\ge0\), остаётся \[ t=5. \]
Решаем: \[ \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5. \] Уединяем корень: \[ \sqrt{2x+3}=5-\sqrt{x+1}. \] Возводим в квадрат: \[ 2x+3=25-10\sqrt{x+1}+x+1, \] \[ 23-x=10\sqrt{x+1}. \] Ещё раз возводим в квадрат: \[ (23-x)^2=100(x+1), \] \[ x^2-146x+429=0. \] Корни: \[ x=3 \quad \text{и} \quad x=143. \] Условие \(23-x\ge0\) отбрасывает \(143\). Остаётся \(x=3\).
Проверка при \(x=3\): \[ \sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5, \] \[ 3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16 =9+2\sqrt{36}-16=9+12-16=5. \] Верно.
Принцип: если подкоренные выражения связаны произведением, удобно обозначить сумму корней через \(t\). Тогда \(t^2\) выражает правую часть уравнения.
Обсуждение
4 сообщенияПочему t² равно такому выражению
Потому что \(t\) — это сумма двух корней, а её возводят в квадрат по формуле квадрата суммы:
\[ t=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}. \]
Обозначим для удобства \[ a=\sqrt{2x+3},\qquad b=\sqrt{x+1}. \]
Тогда \[ t^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
Теперь подставляем:
\[ a^2=2x+3, \] \[ b^2=x+1, \] \[ 2ab=2\sqrt{2x+3}\sqrt{x+1} =2\sqrt{(2x+3)(x+1)}. \]
Раскрываем произведение под корнем: \[ (2x+3)(x+1)=2x^2+2x+3x+3=2x^2+5x+3. \]
Значит, \[ t^2=(2x+3)+(x+1)+2\sqrt{2x^2+5x+3}. \]
Складываем первые два слагаемых: \[ t^2=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}. \]
Отсюда \[ 3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}=t^2-4. \]
Именно поэтому в уравнении выражение \(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}\) заменяется на \(t^2-4\). Главное — не забыть удвоенное произведение \(2ab\), иначе квадрат суммы раскрыт неверно.
Зачем мы уединили корни
Коротко: возведение в квадрат убирает корень только тогда, когда под квадратом стоит он один: \((\sqrt{A})^2=A\). Если возводить сумму двух корней, остаётся удвоенное произведение — то есть снова корень. Поэтому корни убирают по одному: уединить один → возвести в квадрат → снова уединить → снова возвести. Два корня — два возведения в квадрат.
На нашем уравнении. После замены получилось \[ \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5. \] Уединяем первый корень: \[ \sqrt{2x+3}=5-\sqrt{x+1}. \] Возводим в квадрат: \[ 2x+3=25-10\sqrt{x+1}+(x+1)=x+26-10\sqrt{x+1}. \] Первый корень исчез, остался один — его снова уединяем: \[ 10\sqrt{x+1}=23-x. \] Второе возведение в квадрат убирает и его: \[ (23-x)^2=100(x+1)\ \Rightarrow\ x^2-146x+429=0, \] \[ x=\frac{146\pm140}{2}=3 \text{ или } 143. \]
Почему не возводить сразу «в лоб». Если возвести \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5\) как есть, получится \[ 3x+4+2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=25, \] то есть корень никуда не делся, а превратился в корень из произведения — выражение более громоздкое, и уединять всё равно придётся. В этом номере такой путь случайно приводит к тому же квадратному уравнению, но в общем случае он даёт уравнение более высокой степени. Схема с уединением — универсальный шаблон, который работает всегда.
Откуда условие \(23-x\ge0\). Возведение в квадрат — необратимая операция, оно может добавить «лишние» корни. Слева \(10\sqrt{x+1}\ge0\), значит и справа \(23-x\ge0\), то есть \(x\le23\). Корень \(143\) этому не удовлетворяет — он посторонний: подстановка даёт \(17+12=29\ne5\). Остаётся \(x=3\), и проверка подтверждает ответ.
