Реши
Судя по записи, в номерах 5.24–5.30 нужно найти значение производной \(f'(x_0)\), а в 5.31 — точки, в которых касательная параллельна оси \(Ox\).
Краткие ответы
5.24. \(f(x)=\operatorname{tg}x\)
\[ f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x} \]
\[ f'(0)=1,\qquad f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=2,\qquad f'\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2,\qquad f'\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{3}. \]
5.25. \(f(x)=\operatorname{ctg}x\)
\[ f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x} \]
\[ f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1,\qquad f'\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1, \] \[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=-2,\qquad f'\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-4. \]
5.26. \(f(x)=\ln x\)
\[ f'(x)=\frac{1}{x} \]
\[ f'(1)=1,\qquad f'(2)=\frac12,\qquad f'(3)=\frac13,\qquad f'(e)=\frac{1}{e}. \]
5.27. \(f(x)=\log_2 x\)
\[ f'(x)=\frac{1}{x\ln 2} \]
\[ f'(1)=\frac{1}{\ln2},\qquad f'(2)=\frac{1}{2\ln2}, \] \[ f'(4)=\frac{1}{4\ln2},\qquad f'(8)=\frac{1}{8\ln2}. \]
5.28. \(f(x)=2^x\)
\[ f'(x)=2^x\ln2 \]
\[ f'(-1)=\frac{\ln2}{2},\qquad f'(0)=\ln2,\qquad f'(2)=4\ln2,\qquad f'(3)=8\ln2. \]
5.29. \(f(x)=e^x\)
\[ f'(x)=e^x \]
\[ f'(-2)=e^{-2},\qquad f'(-1)=e^{-1},\qquad f'(0)=1,\qquad f'(2)=e^2. \]
5.30
а) \(f(x)=\dfrac{8}{\sqrt{x}}\)
\[ f'(x)=-\frac{4}{x\sqrt{x}},\qquad f'(4)=-\frac12. \]
б) \(f(x)=\dfrac{-4}{\sqrt{x}}\)
\[ f'(x)=\frac{2}{x\sqrt{x}},\qquad f'(2)=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}. \]
в) \(f(x)=\sin\dfrac{\pi x}{2}+\ln(2-x)\)
\[ f'(x)=\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi x}{2}-\frac{1}{2-x}, \]
\[ f'(1)=0-1=-1. \]
г) \(f(x)=\cos\pi x-e^{1-x}\)
\[ f'(x)=-\pi\sin\pi x+e^{1-x}, \]
\[ f'(1)=0+1=1. \]
5.31. Горизонтальная касательная
Касательная параллельна оси \(Ox\), если
\[ f'(x)=0. \]
а) \(f(x)=x^2+4x-12\)
\[ f'(x)=2x+4=0 \Rightarrow x=-2. \]
\[ f(-2)=4-8-12=-16. \]
Точка: \((-2;-16)\).
б) \(f(x)=3x^2-12x+11\)
\[ f'(x)=6x-12=0 \Rightarrow x=2. \]
\[ f(2)=12-24+11=-1. \]
Точка: \((2;-1)\).
в) \(f(x)=x^3-12x^2+36x-1\)
\[ f'(x)=3x^2-24x+36=3(x-2)(x-6). \]
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=6. \]
\[ f(2)=31,\qquad f(6)=-1. \]
Точки: \((2;31)\) и \((6;-1)\).
г) \(f(x)=2x^3+6x^2-7\)
\[ f'(x)=6x^2+12x=6x(x+2). \]
\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=-2. \]
\[ f(0)=-7,\qquad f(-2)=1. \]
Точки: \((0;-7)\) и \((-2;1)\).
Как понять принцип
- Находим производную \(f'(x)\) по правилам дифференцирования.
- Подставляем заданное \(x_0\).
- Для касательной, параллельной \(Ox\), решаем уравнение \(f'(x_0)=0\).
Основные формулы:
\[ (\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2x},\qquad (\operatorname{ctg}x)'=-\frac{1}{\sin^2x}, \]
\[ (\ln x)'=\frac1x,\qquad (\log_2x)'=\frac{1}{x\ln2}, \]
\[ (2^x)'=2^x\ln2,\qquad (e^x)'=e^x. \]
Например, в 5.24:
\[ f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}, \]
поэтому при \(x_0=\frac{\pi}{4}\):
\[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos^2(\pi/4)} =\frac{1}{(1/\sqrt2)^2}=2. \]
Проверка: производная — это угловой коэффициент касательной. В 5.31 мы специально приравняли его нулю, поэтому все найденные касательные горизонтальны.
