реши 4.30
Сверь числа и знаки с фото.
4.30. На грани \(ADC\) тетраэдра \(DABC\) отметили точку \(M\) (рис. 4.22). Постройте точку, в которой прямая, проходящая через точку \(M\) параллельно прямой \(BD\), пересекает плоскость \(ABC\). [Рисунок 4.22: тетраэдр \(DABC\); точка \(M\) отмечена на грани \(ADC\).]
Кратко: искомая точка \(P\) — это пересечение прямой, проведённой через \(M\) параллельно \(BD\), с прямой \(BN\), где \(N=DM\cap AC\).
Построение
- В грани \(ADC\) проведите прямую \(DM\) и продолжите её до пересечения с \(AC\). Полученную точку обозначьте \(N\).
- Через \(M\) проведите прямую \(l\parallel BD\).
- Проведите прямую \(BN\). Точка \(P=l\cap BN\) — искомая.
Почему это работает
Точки \(B,M,D\) задают вспомогательную плоскость \(BMD\). Прямая \(l\) лежит в этой плоскости, потому что она проходит через \(M\) и параллельна \(BD\).
Плоскость \(BMD\) пересекает плоскость \(ABC\) по прямой \(BN\): точка \(B\) лежит в обеих плоскостях, а \(N\in AC\subset(ABC)\) и \(N\in DM\subset(BMD)\).
Значит, точка \(P=l\cap BN\) одновременно лежит на прямой \(l\) и в плоскости \(ABC\). Поэтому именно она является точкой пересечения прямой, проходящей через \(M\) параллельно \(BD\), с плоскостью \(ABC\).
Проверка: \(P\in l\), \(l\parallel BD\), \(P\in BN\subset(ABC)\). Все условия выполнены.
Обсуждение
3 сообщениятеперь реши 4.31
Кратко: искомая точка \(P\) — пересечение прямой \(BN\) с прямой, проведённой через \(K\) параллельно \(DB\), где \(N\) — точка пересечения прямой \(DK\) с прямой \(AA_1\).
Построение
- Проведите прямую \(DK\) и продолжите её до пересечения с прямой \(AA_1\). Полученную точку обозначьте \(N\) (она может лежать на продолжении ребра \(AA_1\)).
- Проведите прямую \(BN\).
- Через \(K\) проведите прямую \(l\parallel DB\).
- Точка \(P=l\cap BN\) — искомая.
Почему это работает
Пусть \(\gamma\) — плоскость, проходящая через прямую \(DB\) и точку \(K\). Прямая \(l\) лежит в \(\gamma\), так как проходит через \(K\) и параллельна \(DB\subset\gamma\).
Найдём линию пересечения \(\gamma\) с плоскостью \(ABB_1\):
- \(B\in DB\subset\gamma\) и \(B\in(ABB_1)\);
- \(N\in DK\subset\gamma\), а также \(N\in AA_1\subset(ABB_1)\).
Значит, \(\gamma\cap(ABB_1)=BN\). Поэтому точка \(P=l\cap BN\) принадлежит и прямой \(l\), и плоскости \(ABB_1\) — это и есть точка пересечения прямой, проходящей через \(K\) параллельно \(DB\), с плоскостью \(ABB_1\).
Проверка: \(P\in l\), \(l\parallel DB\), \(P\in BN\subset(ABB_1)\) — все условия задачи выполнены.
Если \(K\) окажется на ребре \(DD_1\), то \(DK\parallel AA_1\) и точка \(N\) не определится; по рисунку 4.23 точка \(K\) лежит внутри грани \(ADD_1\), поэтому построение проходит.
реши 5.56
