Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).

Как решать:

1. Найдём два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма равна \(5\) — числу, противоположному коэффициенту при \(x\).
2. Это числа \(2\) и \(3\): \[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]
3. Поэтому квадратный трёхчлен раскладывается на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
4. Уравнение принимает вид: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \] Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]

Проверка:

При \(x=2\): \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]

При \(x=3\): \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Принцип: для приведённого уравнения \(x^2+bx+c=0\) корни \(m\) и \(n\) связаны соотношениями \(m+n=-b\), \(mn=c\). В нашем случае \(m+n=5\), \(mn=6\), поэтому \(m=2\), \(n=3\).