Возникает ли в катушке индукционный ток во время движения магнита относительно катушки

Да, в катушке будет возникать индукционный ток при движении магнита относительно нее. Это основывается на явлении электромагнитной индукции, когда изменение магнитного поля через проводник (катушку) создает электрический ток в проводнике.