.

Хорошо, давай рассмотрим задачу номер 643. Нас просят найти три числа, которые составляют арифметическую прогрессию, и сумма которых равна 21. Из условия задачи мы также знаем, что если уменьшить второе число на 1 и увеличить третье на 1, то мы получим геометрическую прогрессию.

В арифметической прогрессии разность между соседними членами одинакова. Обозначим первое число как \(a\), тогда по определению арифметической прогрессии второе число будет \(a + d\), а третье \(a + 2d\), где \(d\) - разность арифметической прогрессии.

Суммируя эти числа, получим уравнение суммы трех чисел арифметической прогрессии: \[ a + (a + d) + (a + 2d) = 21 \] \[ 3a + 3d = 21 \] \[ 3a + 3d = 3 \times 7 \]

Делим обе стороны на 3: \[ a + d = 7 \]

Это уравнение (1), из которого можно выразить \(a\) через \(d\) или наоборот. Но мы пока не можем найти их значения, так как у нас только одно уравнение. Давайте теперь воспользуемся информацией о геометрической прогрессии.

После изменения второго и третьего членов арифметической прогрессии мы получаем числа: \(a\), \(a + d - 1\), (a +