доказательатво теоремы:в треугольнике против большый стороны дежит большый угол

Доказательство данной теоремы можно провести с использованием леммы о синусах:

Пусть в треугольнике ABC сторона AB является самой длинной. Пусть α, β и γ обозначают углы треугольника ABC, причем угол α соответствует стороне BC, угол β соответствует стороне AC, а угол γ соответствует стороне AB.

Поскольку сторона AB является самой длинной, то она должна иметь наибольший противолежащий ей угол, то есть γ>α и γ>β.

Используя лемму о синусах, получаем: AB/sin γ = BC/sin α (1) AB/sin γ = AC/sin β (2)

Так как γ>α и γ>β, то sin γ>sin α и sin γ>sin β.

Из (1) следует, что AB/sin γ>BC/sin α, или AB/BC>sin γ/sin α. А из (2) следует, что AB/sin γ>AC/sin β, или AB/AC>sin γ/sin β.

Таким образом, AB/BC>sin γ/sin α и AB/AC>sin γ/sin β.

Так как sin γ>sin α и sin γ>sin β, то sin γ/sin α>1 и sin γ/sin β>1.

Отсюда AB/BC>1 и AB/AC>1, что означает, что сторона AB действительно является самой длинной и противолежащим ей углом γ.

Теорема доказана.